Determine a Solução para as seguintes equações diferenciais: d y/d x + 2 y = 10

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial: . Esse tipo de equação é chamada de equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, a gente vai precisar usar o método do fator integrante, que ajuda a simplificar e encontrar a solução geral da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os componentes da nossa equação. Está no formato padrão de uma equação linear de primeira ordem:
No nosso caso, e .

Passo 3

Agora, vamos calcular o fator integrante. Esse fator é dado por:
Substituindo :

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
Simplificando:

Passo 5

Perceba que o lado esquerdo da equação é a derivada do produto :
Isso torna a equação mais simples para integrar.

Passo 6

Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a :
A integral do lado esquerdo é simplesmente , e a do lado direito é:
Então:

Passo 7

Para encontrar , dividimos ambos os lados por :
Aqui, é a constante de integração que aparece quando integramos.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é uma constante qualquer.

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