Determine a Solução para as seguintes equações diferenciais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
. Esse tipo de equação é chamada de equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, a gente vai precisar usar o método do fator integrante, que ajuda a simplificar e encontrar a solução geral da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os componentes da nossa equação. Está no formato padrão de uma equação linear de primeira ordem:
No nosso caso,
e
.
Passo 3
Agora, vamos calcular o fator integrante. Esse fator é dado por:
Substituindo
:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Simplificando:
Passo 5
Perceba que o lado esquerdo da equação é a derivada do produto
:
Isso torna a equação mais simples para integrar.
Passo 6
Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a
:
A integral do lado esquerdo é simplesmente
, e a do lado direito é:
Então:
Passo 7
Para encontrar
, dividimos ambos os lados por
:
Aqui,
é a constante de integração que aparece quando integramos.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante qualquer.
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