Determine a Solução para as seguintes equações diferenciais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é dada por
. A gente vai trabalhar com equações diferenciais exatas, que são aquelas onde dá pra encontrar uma função potencial que simplifica tudo. Para isso, vamos precisar verificar se a equação é exata e, se for, encontrar essa função.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da equação. Temos:
Para saber se a equação é exata, a gente verifica se a derivada de
em relação a
é igual à derivada de
em relação a
. Se for, tá tudo certo!
Passo 3
Calculando as derivadas:
Como
, a equação é exata. Isso significa que existe uma função
tal que
.
Passo 4
Vamos encontrar a função
. Para isso, integramos
em relação a
:
Aqui,
é uma função que depende só de
e que a gente precisa determinar.
Passo 5
Agora, diferenciamos
em relação a
e igualamos a
:
Resolvendo para
:
Integrando em relação a
:
Passo 6
Agora, juntamos tudo para obter a função
:
Esse é o resultado geral da equação diferencial.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante arbitrária.
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e