Determine a Solução para as seguintes equações diferenciais: (x+y+1) dx + (x - y^2 + 3) dy = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é dada por . A gente vai trabalhar com equações diferenciais exatas, que são aquelas onde dá pra encontrar uma função potencial que simplifica tudo. Para isso, vamos precisar verificar se a equação é exata e, se for, encontrar essa função.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da equação. Temos:
Para saber se a equação é exata, a gente verifica se a derivada de M em relação a y é igual à derivada de N em relação a x. Se for, tá tudo certo!

Passo 3

Calculando as derivadas:
Como , a equação é exata. Isso significa que existe uma função F(x, y) tal que .

Passo 4

Vamos encontrar a função F(x, y). Para isso, integramos M em relação a x:
Aqui, é uma função que depende só de y e que a gente precisa determinar.

Passo 5

Agora, diferenciamos F(x, y) em relação a y e igualamos a N:
Resolvendo para :
Integrando em relação a y:

Passo 6

Agora, juntamos tudo para obter a função F(x, y):
Esse é o resultado geral da equação diferencial.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde C é uma constante arbitrária.

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