Determine a Solução para as seguintes equações diferenciais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
. Aqui estamos lidando com equações diferenciais de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar verificar se a equação é exata ou se precisamos de um fator integrante. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções que multiplicam
e
. Chamamos de
e
:
A equação fica:
Passo 3
Agora, vamos verificar se a equação é exata. Para isso, calculamos as derivadas parciais de
em relação a
e de
em relação a
:
Como
, a equação não é exata.
Passo 4
Quando a equação não é exata, podemos procurar um fator integrante que torne a equação exata. Vamos tentar um fator integrante que depende apenas de
, ou seja,
. Multiplicamos a equação inteira por
:
Passo 5
Para que a equação seja exata após a multiplicação, a condiç��o é:
Calculando as derivadas:
Simplificando:
Passo 6
Agora, resolvemos a equação diferencial para
:
Dividindo ambos os lados por
:
Integrando ambos os lados:
Então:
Podemos escolher
sem perder generalidade:
Passo 7
Multiplicamos a equação original pelo fator integrante
:
Simplificando:
Passo 8
Agora, a equação é exata. Vamos encontrar a função potencial
tal que:
Integrando
em relação a
:
Onde
é uma função de
.
Passo 9
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Então:
Integrando:
Passo 10
Portanto, a função potencial é:
A solução geral da equação diferencial é:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Determine a Solução para as seguintes equações diferenciais:
Determine a Solução para as seguintes equações diferenciais:
Determine a Solução para as seguintes equações diferenciais:
e
Encontre o limite, caso exista. Se não existir, justifique sua resposta.