Determine a Solução para as seguintes equações diferenciais: (y^2) dx + (x y + 1) dy = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial: . Aqui estamos lidando com equações diferenciais de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar verificar se a equação é exata ou se precisamos de um fator integrante. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções que multiplicam e . Chamamos de e :
A equação fica:

Passo 3

Agora, vamos verificar se a equação é exata. Para isso, calculamos as derivadas parciais de em relação a e de em relação a :
Como , a equação não é exata.

Passo 4

Quando a equação não é exata, podemos procurar um fator integrante que torne a equação exata. Vamos tentar um fator integrante que depende apenas de , ou seja, . Multiplicamos a equação inteira por :

Passo 5

Para que a equação seja exata após a multiplicação, a condiç��o é:
Calculando as derivadas:
Simplificando:

Passo 6

Agora, resolvemos a equação diferencial para :
Dividindo ambos os lados por :
Integrando ambos os lados:
Então:
Podemos escolher sem perder generalidade:

Passo 7

Multiplicamos a equação original pelo fator integrante :
Simplificando:

Passo 8

Agora, a equação é exata. Vamos encontrar a função potencial tal que:
Integrando em relação a :
Onde é uma função de .

Passo 9

Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
Então:
Integrando:

Passo 10

Portanto, a função potencial é:
A solução geral da equação diferencial é:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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Determine a Solução para as seguintes equações diferenciais: (x+y+1) dx + (x - y^2 + 3) dy = 0
Determine a Solução para as seguintes equações diferenciais: d y/d x + 12 y = e^(2 x)
Determine a Solução para as seguintes equações diferenciais: 2 y'' - 9 y' + 4 y = 0 ; y(0) = 1 e y'(0) = 0
Encontre o limite, caso exista. Se não existir, justifique sua resposta.
lim x -infty 1-x-x^2-4 x^32 x^3+x^2-x-7