Usando o método da variação dos parâmetros encontre uma solução particular para as seguintes equações diferenciais. Determine a solução geral.
y'' - 2y' + y = 4e^x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando o método da variação dos parâmetros. A matéria envolvida aqui é equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos precisar conhecer a solução da equação homogênea associada e aplicar a técnica da variação dos parâmetros para encontrar uma solução particular.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: . Para isso, encontramos a equação característica. Suponhamos que a solução seja da forma , substituindo na equação homogênea:
Dividindo por , que nunca é zero, temos:

Passo 3

Vamos resolver a equação quadrática . Calculando o discriminante:
Como o discriminante é zero, temos uma raiz dupla:

Passo 4

Com a raiz dupla , a solução geral da equação homogênea é:
Onde e são constantes arbitrárias.

Passo 5

Agora, vamos encontrar uma solução particular usando o método da variação dos parâmetros. Sabemos que a solução homogênea já inclui termos com , então para evitar a duplicação, vamos supor que a solução particular tenha a forma:
Onde e são constantes a serem determinadas.

Passo 6

Calculamos as derivadas de :
Substituindo , e na equação original e resolvendo para e , encontramos os valores que satisfazem a equação.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde e são constantes arbitrárias.

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