Usando o método da variação dos parâmetros encontre uma solução particular para as seguintes equações diferenciais. Determine a solução geral.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial
usando o método da variação dos parâmetros. A matéria envolvida aqui é equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos precisar conhecer a solução da equação homogênea associada e aplicar a técnica da variação dos parâmetros para encontrar uma solução particular.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
. Para isso, encontramos a equação característica. Suponhamos que a solução seja da forma
, substituindo na equação homogênea:
Dividindo por
, que nunca é zero, temos:
Passo 3
Vamos resolver a equação quadrática
. Calculando o discriminante:
Como o discriminante é zero, temos uma raiz dupla:
Passo 4
Com a raiz dupla
, a solução geral da equação homogênea é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 5
Agora, vamos encontrar uma solução particular
usando o método da variação dos parâmetros. Sabemos que a solução homogênea já inclui termos com
, então para evitar a duplicação, vamos supor que a solução particular tenha a forma:
Onde
e
são constantes a serem determinadas.
Passo 6
Calculamos as derivadas de
:
Substituindo
,
e
na equação original e resolvendo para
e
, encontramos os valores que satisfazem a equação.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.