Determine as soluções das equações diferenciais lineares de la ordem abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra resolver uma equação diferencial linear de primeira ordem:
. A matéria envolvida aqui é a de equações diferenciais lineares. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante, que ajuda a transformar a equação numa forma que facilita achar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os termos da equação. Ela está na forma padrão
, onde
e
.
Passo 3
Agora, calculamos o fator integrante
. Ele é dado por:
Esse fator vai multiplicar toda a equação para facilitar a resolução.
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Simplificando o lado direito:
Passo 5
A equação agora pode ser escrita como a derivada do produto
:
Isso facilita integrar ambos os lados.
Passo 6
Integrando ambos os lados em relação a
:
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Finalmente, resolvemos para
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é
, onde
é uma constante.
Exercícios relacionados
Determine as soluções das equações diferenciais de variáveis separáveis abaixo:
Um tanque de 200 litros de capacidade, contém inicial- mente 40 litros de água pura. A partir do instante
, adiciona-se no tanque uma solução de salmoura com 250 gramas de sal por litro, à razão de 12 litros por minuto. A mistura é suposta uniforme, escoa do tanque à razão de 8 l/min. Determinar: o tempo necessário para que ocorra o transbordamento; a concentração de sal na mistura presente no tanque no instante do transbordamento.
Calcule as derivadas da função
dada por:
Calcule as derivadas da função
dada por: