Determine as soluções das equações diferenciais lineares de la ordem abaixo:
y' - 2y = e^(2x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra resolver uma equação diferencial linear de primeira ordem: . A matéria envolvida aqui é a de equações diferenciais lineares. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante, que ajuda a transformar a equação numa forma que facilita achar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os termos da equação. Ela está na forma padrão , onde e .

Passo 3

Agora, calculamos o fator integrante . Ele é dado por:
Esse fator vai multiplicar toda a equação para facilitar a resolução.

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Simplificando o lado direito:

Passo 5

A equação agora pode ser escrita como a derivada do produto :
Isso facilita integrar ambos os lados.

Passo 6

Integrando ambos os lados em relação a :
onde é a constante de integração.

Passo 7

Finalmente, resolvemos para :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é , onde é uma constante.

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