Determine as soluções das equações diferenciais lineares de la ordem abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra resolver uma equação diferencial linear de primeira ordem: . A matéria envolvida aqui é a de equações diferenciais lineares. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante, que ajuda a transformar a equação numa forma que facilita achar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os termos da equação. Ela está na forma padrão , onde e .

Passo 3

Agora, calculamos o fator integrante . Ele é dado por:
Esse fator vai multiplicar toda a equação para facilitar a resolução.

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Simplificando o lado direito:

Passo 5

A equação agora pode ser escrita como a derivada do produto :
Isso facilita integrar ambos os lados.

Passo 6

Integrando ambos os lados em relação a :
onde é a constante de integração.

Passo 7

Finalmente, resolvemos para :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é , onde é uma constante.

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Determine as soluções das equações diferenciais de variáveis separáveis abaixo:
Um tanque de 200 litros de capacidade, contém inicial- mente 40 litros de água pura. A partir do instante , adiciona-se no tanque uma solução de salmoura com 250 gramas de sal por litro, à razão de 12 litros por minuto. A mistura é suposta uniforme, escoa do tanque à razão de 8 l/min. Determinar: o tempo necessário para que ocorra o transbordamento; a concentração de sal na mistura presente no tanque no instante do transbordamento.
Calcule as derivadas da função dada por:
Calcule as derivadas da função dada por: