Determine as soluções das equações diferenciais de variáveis separáveis abaixo:
Passo 1
Estamos vendo uma equação diferencial que é de variáveis separáveis. O objetivo é encontrar a solução para
. Para resolver isso, vamos precisar separar as variáveis
e
e então integrar ambos os lados.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para separar as variáveis. Começamos com:
Podemos reescrever o lado direito usando propriedades dos expoentes:
Então, a equação fica:
Agora, vamos separar
e
movendo todos os termos com
para um lado e os com
para o outro:
Passo 3
Agora que as variáveis estão separadas, podemos integrar ambos os lados para encontrar a solução geral.
Integrando o lado esquerdo:
Integrando o lado direito:
Passo 4
Igualamos as integrais e combinamos as constantes de integração:
Onde
é uma nova constante.
Passo 5
Agora, vamos resolver para
:
Multiplicamos ambos os lados por 2:
Podemos simplificar chamando
de apenas
:
Aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados para isolar
:
Finalmente, dividimos por 2:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante de integração.
Exercícios relacionados
Um tanque de 200 litros de capacidade, contém inicial- mente 40 litros de água pura. A partir do instante
, adiciona-se no tanque uma solução de salmoura com 250 gramas de sal por litro, à razão de 12 litros por minuto. A mistura é suposta uniforme, escoa do tanque à razão de 8 l/min. Determinar: o tempo necessário para que ocorra o transbordamento; a concentração de sal na mistura presente no tanque no instante do transbordamento.
Encontre a solução de cada PVI:
Determine as soluções das equações diferenciais lineares de la ordem abaixo:
Calcule as derivadas da função
dada por: