Determine as soluções das equações diferenciais de variáveis separáveis abaixo:

Passo 1

Estamos vendo uma equação diferencial que é de variáveis separáveis. O objetivo é encontrar a solução para . Para resolver isso, vamos precisar separar as variáveis e e então integrar ambos os lados.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para separar as variáveis. Começamos com:
Podemos reescrever o lado direito usando propriedades dos expoentes:
Então, a equação fica:
Agora, vamos separar e movendo todos os termos com para um lado e os com para o outro:

Passo 3

Agora que as variáveis estão separadas, podemos integrar ambos os lados para encontrar a solução geral.
Integrando o lado esquerdo:
Integrando o lado direito:

Passo 4

Igualamos as integrais e combinamos as constantes de integração:
Onde é uma nova constante.

Passo 5

Agora, vamos resolver para :
Multiplicamos ambos os lados por 2:
Podemos simplificar chamando de apenas :
Aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados para isolar :
Finalmente, dividimos por 2:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante de integração.

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Determine as soluções das equações diferenciais lineares de la ordem abaixo:
Calcule as derivadas da função dada por: