Encontre a solução de cada PVI:

Passo 1

Então, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. Temos um problema de equações diferenciais onde precisamos encontrar a função que satisfaz a equação . Além disso, temos as condições iniciais e . Vamos precisar usar métodos de equações diferenciais de segunda ordem com coeficientes constantes e incluir condições iniciais para encontrar a solução completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é . Para isso, supomos que a solução tem a forma . Substituindo na equação, temos:
Como nunca é zero, a equação característica é , que tem raízes imaginárias .

Passo 3

Com raízes complexas , a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes que vamos determinar depois.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar uma solução particular da equação completa . Como o termo do lado direito é , tentamos uma solução particular da forma , onde é uma constante a ser encontrada.

Passo 5

Vamos derivar :
Substituindo na equação original:
Dividindo ambos os lados por :

Passo 6

Então, a solução particular é:

Passo 7

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a particular:

Passo 8

Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar e . Primeiro, para :

Passo 9

Agora, derivamos para encontrar :
Aplicando :

Resposta

A solução do problema é:

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Um tanque de 200 litros de capacidade, contém inicial- mente 40 litros de água pura. A partir do instante , adiciona-se no tanque uma solução de salmoura com 250 gramas de sal por litro, à razão de 12 litros por minuto. A mistura é suposta uniforme, escoa do tanque à razão de 8 l/min. Determinar: o tempo necessário para que ocorra o transbordamento; a concentração de sal na mistura presente no tanque no instante do transbordamento.
Determine as soluções das equações diferenciais de variáveis separáveis abaixo: