Encontre a solução de cada PVI:
Passo 1
Então, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. Temos um problema de equações diferenciais onde precisamos encontrar a função
que satisfaz a equação
. Além disso, temos as condições iniciais
e
. Vamos precisar usar métodos de equações diferenciais de segunda ordem com coeficientes constantes e incluir condições iniciais para encontrar a solução completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é
. Para isso, supomos que a solução tem a forma
. Substituindo na equação, temos:
Como
nunca é zero, a equação característica é
, que tem raízes imaginárias
.
Passo 3
Com raízes complexas
, a solução geral da equação homogênea é:
onde
e
são constantes que vamos determinar depois.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar uma solução particular da equação completa
. Como o termo do lado direito é
, tentamos uma solução particular da forma
, onde
é uma constante a ser encontrada.
Passo 5
Vamos derivar
:
Substituindo na equação original:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 6
Então, a solução particular é:
Passo 7
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a particular:
Passo 8
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar
e
. Primeiro, para
:
Passo 9
Agora, derivamos
para encontrar
:
Aplicando
:
Resposta
A solução do problema é: