Encontre uma restrição g para cada função dada de modo que essa restrição admita uma inversa h = g^(-1). Em cada caso, especifique o domínio e o contra domínio da inversa e, também, sua lei de formação, nos casos seguintes:
(d) f(x) = x^3 - 6x^2 + 12x - 6

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar uma restrição para a função de forma que essa restrição tenha uma inversa . Além disso, precisamos especificar o domínio e o contradomínio dessa inversa e também a sua lei de formação. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre funções inversas e como restringir o domínio de uma função para que ela seja invertível.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na função . Para saber se conseguimos encontrar uma inversa, precisamos verificar se a função é injetora, ou seja, se cada valor de corresponde a apenas um valor de . Isso geralmente envolve analisar se a função é crescente ou decrescente.

Passo 3

Para determinar se a função é crescente ou decrescente, vamos calcular a derivada de :
A derivada nos diz a taxa de variação da função. Se , a função está crescendo; se , está decrescendo.

Passo 4

Vamos resolver a equação para encontrar os pontos críticos:
Então, a derivada se anula apenas em .

Passo 5

Agora, vamos analisar o sinal da derivada:
  • Para : Vamos testar :
  • Para : Vamos testar :
Como a derivada é positiva para todos os diferentes de 2 e igual a zero em , a função é sempre crescente.

Passo 6

Como a função é sempre crescente, ela não repete valores para diferentes . Isso significa que é injetora em todo o seu domínio, que é (todos os números reais). Portanto, não precisamos restringir o domínio; a função já admite uma inversa.

Passo 7

Agora, vamos definir a inversa . Para encontrar , precisamos resolver a equação para . No entanto, essa equação cúbica não tem uma solução simples em termos de funções elementares. Assim, a inversa existe, mas sua expressão exata pode ser complexa e geralmente é encontrada usando métodos numéricos ou mais avançados.

Passo 8

Resumindo:
  • Restrição : Podemos tomar com o domínio .
  • Inversa :
    • Domínio de :
    • Contradomínio de :
    • Lei de formação: satisfaz , mas sua expressão exata é complexa.

Resposta

A restrição pode ser a própria função , já que ela é estritamente crescente e, portanto, inversível em todo o seu domínio. A inversa tem domínio e contradomínio sendo , e sua lei de formação é definida implicitamente pela equação .

Exercícios relacionados

Se existem, calcule os seguintes limites:
© lim x 1 x^4+x^3-x-1x^2-1
Determine as soluçōes dos exercícios (a), (b) e (d) que passam pelo ponto 1,1:
(x+y) dx + x dy = 0
Calcule os limites abaixo, se possível.
(b) lim x -infty x^4-xx^3-1
Calcule os limites abaixo, se possível.
(a) lim x 1(x^2-1)(sen(1x-1)+3 cos (1x-1))