Encontre uma restrição
para cada função dada de modo que essa restrição admita uma inversa
. Em cada caso, especifique o domínio e o contra domínio da inversa e, também, sua lei de formação, nos casos seguintes:
(d)
(d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar uma restrição
para a função
de forma que essa restrição tenha uma inversa
. Além disso, precisamos especificar o domínio e o contradomínio dessa inversa e também a sua lei de formação. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre funções inversas e como restringir o domínio de uma função para que ela seja invertível.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na função
. Para saber se conseguimos encontrar uma inversa, precisamos verificar se a função é injetora, ou seja, se cada valor de
corresponde a apenas um valor de
. Isso geralmente envolve analisar se a função é crescente ou decrescente.
Passo 3
Para determinar se a função é crescente ou decrescente, vamos calcular a derivada de
:
A derivada nos diz a taxa de variação da função. Se
, a função está crescendo; se
, está decrescendo.
Passo 4
Vamos resolver a equação
para encontrar os pontos críticos:
Então, a derivada se anula apenas em
.
Passo 5
Agora, vamos analisar o sinal da derivada:
- Para
: Vamos testar : - Para
: Vamos testar :
Como a derivada é positiva para todos os
diferentes de 2 e igual a zero em
, a função é sempre crescente.
Passo 6
Como a função
é sempre crescente, ela não repete valores para diferentes
. Isso significa que
é injetora em todo o seu domínio, que é
(todos os números reais). Portanto, não precisamos restringir o domínio; a função já admite uma inversa.
Passo 7
Agora, vamos definir a inversa
. Para encontrar
, precisamos resolver a equação
para
. No entanto, essa equação cúbica não tem uma solução simples em termos de funções elementares. Assim, a inversa
existe, mas sua expressão exata pode ser complexa e geralmente é encontrada usando métodos numéricos ou mais avançados.
Passo 8
Resumindo:
- Restrição
: Podemos tomar com o domínio . - Inversa
: - Domínio de
: - Contradomínio de
: - Lei de formação:
satisfaz , mas sua expressão exata é complexa.
- Domínio de
Resposta
A restrição
pode ser a própria função
, já que ela é estritamente crescente e, portanto, inversível em todo o seu domínio. A inversa
tem domínio e contradomínio sendo
, e sua lei de formação é definida implicitamente pela equação
.
Exercícios relacionados
Se existem, calcule os seguintes limites:
©
©
Determine as soluçōes dos exercícios (a), (b) e (d) que passam pelo ponto
:
Calcule os limites abaixo, se possível.
(b)
(b)
Calcule os limites abaixo, se possível.
(a)
(a)