Se existem, calcule os seguintes limites:
© lim x 1 x^4+x^3-x-1x^2-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Esse problema está no conteúdo de limites, parte do estudo de cálculo. Para resolver, vamos precisar fatorar o numerador e o denominador para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o denominador x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) . Isso é uma diferença de quadrados, que a gente sabe que pode ser fatorada assim:
Isso vai nos ajudar a simplificar a fração depois.

Passo 3

Agora, vamos fatorar o numerador x^4 + x^3 - x - 1 = x^3(x + 1) -1(x + 1) = (x^3 - 1)(x + 1) . Vamos tentar agrupar os termos:
Note que é uma diferença de cubos, que podemos fatorar ainda mais.

Passo 4

A fatoração da diferença de cubos x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1) é:
(x^3 - 1)(x + 1) = (x - 1)(x^2 + x + 1)(x + 1)
Então, substituindo na expressão do numerador:

Passo 5

Agora, vamos substituir a fatoração do numerador e do denominador na nossa fração original:
(x - 1)(x^2 + x + 1)(x + 1)(x - 1)(x + 1)
Aqui, podemos cancelar os termos comuns e , desde que , para evitar divisão por zero.

Passo 6

Após cancelar, ficamos com:
x^2 + x + 1
Agora, podemos calcular o limite substituindo 1^2 + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 = 3 por 1:

Resposta

O limite é igual a 3.

Exercícios relacionados

Determine as soluçōes dos exercícios (a), (b) e (d) que passam pelo ponto 1,1:
(x+y) dx + x dy = 0
Encontre todos os pontos de interseção das curvas dadas.
r^2 = sen(2 theta), r^2 = cos(2 theta)
Encontre uma restrição g para cada função dada de modo que essa restrição admita uma inversa h = g^(-1). Em cada caso, especifique o domínio e o contra domínio da inversa e, também, sua lei de formação, nos casos seguintes:
(d) f(x) = x^3 - 6x^2 + 12x - 6
Calcule os limites abaixo, se possível.
(b) lim x -infty x^4-xx^3-1