Determine as soluções das seguintes equações diferenciais:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que resolver a equação diferencial:
Esse exercício pertence à matéria de Equações Diferenciais, mais especificamente às Equações Exatas. Pra resolver, vamos precisar identificar se a equação é exata e, se for, encontrar uma função que satisfaz essa condição.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para o formato padrão das equações diferenciais exatas, que é:
Comparando com a nossa equação:

Passo 3

Agora, para verificar se a equação é exata, precisamos comparar as derivadas parciais:
Vamos calcular cada uma delas.

Passo 4

Calculando :
Derivando em relação a :

Passo 5

Calculando :
Derivando em relação a :

Passo 6

Agora, comparamos as duas derivadas:
Vemos que:
Então, a equação é exata!

Passo 7

Como a equação é exata, sabemos que existe uma função tal que:
Para encontrar , integramos em relação a :
Onde é uma função que depende apenas de .

Passo 8

Vamos integrar :
Integrando termo a termo:
Então:

Passo 9

Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
Simplificando:
Subtraindo de ambos os lados:

Passo 10

Integrando :
Onde é a constante de integração.

Passo 11

Substituindo de volta na expressão de :
Como é constante, podemos escrever a solução geral:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante arbitrária.

Exercícios relacionados

Nos problemas de 1-7, resolva a equação diferencial dada por separação de variáveis.

Resp:
Resolva a equação diferencial dada, sujeita a condição inicial indicada.
Verifique que a equação
admite um fator integrante dependendo só de e resolva a equação.
Encontre a solução das seguintes equações