Determine as soluções das seguintes equações diferenciais:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que resolver a equação diferencial:
Esse exercício pertence à matéria de Equações Diferenciais, mais especificamente às Equações Exatas. Pra resolver, vamos precisar identificar se a equação é exata e, se for, encontrar uma função que satisfaz essa condição.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para o formato padrão das equações diferenciais exatas, que é:
Comparando com a nossa equação:
Passo 3
Agora, para verificar se a equação é exata, precisamos comparar as derivadas parciais:
Vamos calcular cada uma delas.
Passo 4
Calculando
:
Derivando em relação a
:
Passo 5
Calculando
:
Derivando em relação a
:
Passo 6
Agora, comparamos as duas derivadas:
Vemos que:
Então, a equação é exata!
Passo 7
Como a equação é exata, sabemos que existe uma função
tal que:
Para encontrar
, integramos
em relação a
:
Onde
é uma função que depende apenas de
.
Passo 8
Vamos integrar
:
Integrando termo a termo:
Então:
Passo 9
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Simplificando:
Subtraindo
de ambos os lados:
Passo 10
Integrando
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 11
Substituindo
de volta na expressão de
:
Como
é constante, podemos escrever a solução geral:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante arbitrária.
Exercícios relacionados
Nos problemas de 1-7, resolva a equação diferencial dada por separação de variáveis.
Resp:
Resp:
Resolva a equação diferencial dada, sujeita a condição inicial indicada.
Verifique que a equação
admite um fator integrante dependendo só de
e resolva a equação.
Encontre a solução das seguintes equações