Encontre a solução das seguintes equações
(2 cos(x)/x - sen(x)) y^2 + 2 cos(x) y y' = 0

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a equação diferencial:
O objetivo é encontrar a solução para em termos de . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais de primeira ordem, especificamente as equações lineares e o método do fator integrante.

Passo 2

Vamos começar rearranjando a equação para isolar . Dividimos todos os termos por :
Simplificando:
Aqui, usamos a identidade trigonométrica .

Passo 3

Agora, temos uma equação diferencial da forma:
Onde:
Mas para aplicar o método do fator integrante, reescrevemos a equação como:

Passo 4

O próximo passo é encontrar o fator integrante , que é dado por:
Calculando a integral de :
Desconsiderando a constante (pois será absorvida na constante geral da solução), temos:

Passo 5

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante :
Isso simplifica para:

Passo 6

Integrando ambos os lados da equação:
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Isolando , encontramos a solução geral da equação diferencial:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante arbitrária.

Exercícios relacionados