Encontre a solução das seguintes equações
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a equação diferencial:
O objetivo é encontrar a solução para
em termos de
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais de primeira ordem, especificamente as equações lineares e o método do fator integrante.
Passo 2
Vamos começar rearranjando a equação para isolar
. Dividimos todos os termos por
:
Simplificando:
Aqui, usamos a identidade trigonométrica
.
Passo 3
Agora, temos uma equação diferencial da forma:
Onde:
Mas para aplicar o método do fator integrante, reescrevemos a equação como:
Passo 4
O próximo passo é encontrar o fator integrante
, que é dado por:
Calculando a integral de
:
Desconsiderando a constante
(pois será absorvida na constante geral da solução), temos:
Passo 5
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante
:
Isso simplifica para:
Passo 6
Integrando ambos os lados da equação:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Isolando
, encontramos a solução geral da equação diferencial:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante arbitrária.