Nos problemas de 1-7, resolva a equação diferencial dada por separação de variáveis.
x y' = 4 y
Resp: y = c x^4

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é do tipo separação de variáveis. A equação que temos é . Para resolver, vamos precisar entender como separar as variáveis e para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para isolar . Dividindo ambos os lados por , temos:
Isso significa que a taxa de variação de em relação a é proporcional a dividido por .

Passo 3

Agora, aplicamos a técnica de separação de variáveis. Queremos colocar todos os termos com de um lado e os termos com do outro. Então, dividimos ambos os lados por e multiplicamos por :
Aqui, conseguimos separar as variáveis e .

Passo 4

Com as variáveis separadas, podemos integrar ambos os lados da equação:
A integral de é , e a integral de é .

Passo 5

Após integrar, temos:
Onde é a constante de integração que aparece após integrar.

Passo 6

Para resolver para , vamos eliminar o logaritmo exponenciando ambos os lados da equação:
Simplificando, obtemos:
Como é apenas uma constante, podemos substituir por :

Resposta

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