Resolva a equação diferencial dada, sujeita a condição inicial indicada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é do tipo
com a condição inicial
. Vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente de separação de variáveis e integração.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para separar as variáveis
e
. Dividimos ambos os lados por
para isolar
de um lado e
do outro:
Passo 3
Agora, vamos integrar ambos os lados. No lado esquerdo, temos
. Para resolver isso, usamos a substituição
, então
. Assim, a integral fica:
No lado direito, integramos
, que resulta em:
Passo 4
Igualando as integrais das duas partes, temos:
Multiplicando ambos os lados por 2 para simplificar:
Passo 5
Para eliminar o logaritmo, aplicamos a função exponencial em ambos os lados:
Onde
é uma constante.
Passo 6
Resolvendo para
, temos:
Passo 7
Agora, aplicamos a condição inicial
para encontrar o valor de
. Substituindo
e
na equação:
Resposta
A solução da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Verifique que a equação
admite um fator integrante dependendo só de
e também fator integrante dependendo só de
. Resolva a equação de duas maneiras, cada vez empregando um dos fators integrantes.
Resolva a equação diferencial dada, sujeita a condição inicial indicada.
Nos problemas de 1-7, resolva a equação diferencial dada por separação de variáveis.
Resp:
Resp:
Determine as soluções das seguintes equações diferenciais: