Resolva a equação diferencial dada, sujeita a condição inicial indicada.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é do tipo com a condição inicial . Vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente de separação de variáveis e integração.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para separar as variáveis e . Dividimos ambos os lados por para isolar de um lado e do outro:

Passo 3

Agora, vamos integrar ambos os lados. No lado esquerdo, temos . Para resolver isso, usamos a substituição , então . Assim, a integral fica:
No lado direito, integramos , que resulta em:

Passo 4

Igualando as integrais das duas partes, temos:
Multiplicando ambos os lados por 2 para simplificar:

Passo 5

Para eliminar o logaritmo, aplicamos a função exponencial em ambos os lados:
Onde é uma constante.

Passo 6

Resolvendo para , temos:

Passo 7

Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar o valor de . Substituindo e na equação:

Resposta

A solução da equação diferencial é:

Exercícios relacionados

Verifique que a equação
admite um fator integrante dependendo só de e também fator integrante dependendo só de . Resolva a equação de duas maneiras, cada vez empregando um dos fators integrantes.
Resolva a equação diferencial dada, sujeita a condição inicial indicada.
Nos problemas de 1-7, resolva a equação diferencial dada por separação de variáveis.

Resp:
Determine as soluções das seguintes equações diferenciais: