Resolva a equação diferencial dada, sujeita a condição inicial indicada.
y dy = 4 x (y^2 + 1) dx y(0) = 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é do tipo com a condição inicial y(0) = 1. Vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente de separação de variáveis e integração.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para separar as variáveis y e x. Dividimos ambos os lados por para isolar de um lado e do outro:

Passo 3

Agora, vamos integrar ambos os lados. No lado esquerdo, temos . Para resolver isso, usamos a substituição , então . Assim, a integral fica:
No lado direito, integramos , que resulta em:

Passo 4

Igualando as integrais das duas partes, temos:
Multiplicando ambos os lados por 2 para simplificar:

Passo 5

Para eliminar o logaritmo, aplicamos a função exponencial em ambos os lados:
Onde é uma constante.

Passo 6

Resolvendo para y, temos:

Passo 7

Agora, aplicamos a condição inicial y(0) = 1 para encontrar o valor de K. Substituindo x = 0 e na equação:

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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