Determine a soma das coordenadas do vetor projeção de u= (7, 0, 3) na direção de (-1, 6, -5)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a soma das coordenadas do vetor projeção de $ \mathbf{u} = (7, 0, 3) $ na direção de $ \mathbf{v} = (-1, 6, -5) $. Para isso, vamos precisar usar o conceito de projeção de vetores, que está dentro da matéria de Álgebra Vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da projeção de um vetor $ \mathbf{u} $ na direção de um vetor $ \mathbf{v} $:
u
Aqui, $ \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} $ é o produto escalar entre $ \mathbf{u} $ e $ \mathbf{v} $, e $ \mathbf{v} \cdot \mathbf{v} $ é o produto escalar de $ \mathbf{v} $ consigo mesmo, que também é igual ao quadrado do tamanho de $ \mathbf{v} $.

Passo 3

Vamos calcular o produto escalar $ \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} $:
u cdot v

Passo 4

Agora, calculamos $ \mathbf{v} \cdot \mathbf{v} $:
v cdot v

Passo 5

Com esses valores, podemos encontrar a projeção:
projv u = ( -2262 ) v = ( -1131 ) (-1, 6, -5)

Passo 6

Multiplicando o escalar por cada componente de $ \mathbf{v} $:
v

Passo 7

Agora, vamos somar as coordenadas desse vetor:
1131 + ( -6631 ) + 5531 = 11 - 66 + 5531 = 031 = 0

Resposta

A soma das coordenadas do vetor projeção é 0.

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