Usando a decomposição em fatores primos, determine mdc(a, b) e mmc(a, b) onde a=3612 e b=108.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre encontrar o máximo divisor comum (MDC) e o mínimo múltiplo comum (MMC) de dois números usando a decomposição em fatores primos. Para isso, vamos precisar saber como fatorar números em seus fatores primos, ou seja, dividir os números até que só fiquem fatores primos.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor o número a = 3612 em fatores primos. Isso significa que vamos dividir 3612 pelos menores números primos possíveis até chegarmos a apenas fatores primos.

Passo 3

Vamos começar dividindo 3612 por 2, que é o menor número primo:
3612 div 2 = 1806
Então, temos um fator 2. Continuamos dividindo 1806 por 2:
1806 div 2 = 903
Agora, não dá mais para dividir por 2, então passamos para o próximo número primo, que é 3.

Passo 4

Dividindo 903 por 3:
903 div 3 = 301
O número 301 não é divisível por 3, então vamos para o próximo número primo, que é 7.

Passo 5

Verificando se 301 é divisível por 7:
301 div 7 approx 43
Como 43 é um número primo, terminamos a fatoração. Então, a decomposição em fatores primos de 3612 é:
3612 = 2^2 times 3 times 7 times 43

Passo 6

Agora, vamos decompor o número b = 108 em fatores primos.
Começamos dividindo 108 por 2:
108 div 2 = 54
Mais uma vez, dividimos por 2:
54 div 2 = 27
Agora, dividimos 27 por 3:
27 div 3 = 9
Dividimos 9 por 3 novamente:
9 div 3 = 3
E, finalmente:
3 div 3 = 1
Então, a decomposição em fatores primos de 108 é:
108 = 2^2 times 3^3

Passo 7

Agora que temos os fatores primos de ambos os números, podemos encontrar o MDC e o MMC.
Para encontrar o MDC, pegamos os fatores comuns com os menores expoentes:
  • Fatores comuns: mdc(3612, 108) = 2^2 times 3 = 4 times 3 = 12 e
  • Então,

Passo 8

Para encontrar o MMC, pegamos todos os fatores primos com os maiores expoentes:
  • Fatores: mmc(3612, 108) = 2^2 times 3^3 times 7 times 43 = 4 times 27 times 7 times 43 , 4 times 27 = 108 108 times 7 = 756 756 times 43 = 32.428 , , e
  • Então,
Vamos calcular isso passo a passo:

Resposta

Portanto, o máximo divisor comum é 12 e o mínimo múltiplo comum é 32.428.

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