Usando a decomposição em fatores primos, determine
e
onde
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre encontrar o máximo divisor comum (MDC) e o mínimo múltiplo comum (MMC) de dois números usando a decomposição em fatores primos. Para isso, vamos precisar saber como fatorar números em seus fatores primos, ou seja, dividir os números até que só fiquem fatores primos.
Passo 2
Primeiro, vamos decompor o número a = 3612 em fatores primos. Isso significa que vamos dividir 3612 pelos menores números primos possíveis até chegarmos a apenas fatores primos.
Passo 3
Vamos começar dividindo 3612 por 2, que é o menor número primo:
Então, temos um fator 2. Continuamos dividindo 1806 por 2:
Agora, não dá mais para dividir por 2, então passamos para o próximo número primo, que é 3.
Passo 4
Dividindo 903 por 3:
O número 301 não é divisível por 3, então vamos para o próximo número primo, que é 7.
Passo 5
Verificando se 301 é divisível por 7:
Como 43 é um número primo, terminamos a fatoração. Então, a decomposição em fatores primos de 3612 é:
Passo 6
Agora, vamos decompor o número b = 108 em fatores primos.
Começamos dividindo 108 por 2:
Mais uma vez, dividimos por 2:
Agora, dividimos 27 por 3:
Dividimos 9 por 3 novamente:
E, finalmente:
Então, a decomposição em fatores primos de 108 é:
Passo 7
Agora que temos os fatores primos de ambos os números, podemos encontrar o MDC e o MMC.
Para encontrar o MDC, pegamos os fatores comuns com os menores expoentes:
- Fatores comuns:
e - Então,
Passo 8
Para encontrar o MMC, pegamos todos os fatores primos com os maiores expoentes:
- Fatores:
, , , e - Então,
Vamos calcular isso passo a passo:
Resposta
Portanto, o máximo divisor comum é 12 e o mínimo múltiplo comum é 32.428.
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e
onde
e
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Verifique qual das congruências abaixo tem solução:
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Calcule o MDC abaixo usando o algoritmo aprendido em sala de aula e prove usando a definição de MDC:
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