Determine a soma das sentenças verdadeiras.
Sentença 4) Se , para todo , então, necessariamente, é contínua em .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente determinar a soma das sentenças verdadeiras. A única sentença que temos aqui é a Sentença 4, que fala sobre a continuidade de uma função em com base em uma desigualdade específica. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é continuidade de uma função e como essa desigualdade nos ajuda a verificar se a função é realmente contínua nesse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua em se o limite de quando se aproxima de é igual ao valor da função nesse ponto. Ou seja:
Isso basicamente quer dizer que não tem “pulo” ou “quebra” no gráfico da função naquele ponto.
Passo 3
Agora, vamos analisar a desigualdade que foi dada:
Essa expressão nos diz que a diferença entre e é limitada por vezes a diferença entre e . Isso é uma forma de dizer que a função não varia muito rápido perto de , o que é um indicativo de que ela se comporta de maneira controlada naquele ponto.
Passo 4
Com essa desigualdade, podemos ver que, quando se aproxima de , a diferença também se aproxima de porque está se aproximando de . Portanto:
Isso significa que a função satisfaz a condição para ser contínua em .