Se
, para todo
, então, necessariamente,
é contínua em
.
Passo 1
Vamos entender o que o enunciado está dizendo. Temos uma função
que satisfaz a desigualdade
para todo
real. O conteúdo aqui envolve o conceito de continuidade de funções. Para mostrar que
é contínua em
, vamos usar essa desigualdade que relaciona
com
.
Passo 2
Primeiro, lembremos que uma função
é contínua em
se o limite de
quando
se aproxima de 2 for igual a
. Ou seja, queremos mostrar que:
Passo 3
Vamos usar a desigualdade dada para ajudar nisso. A desigualdade
nos dá uma forma de controlar a diferença entre
e
quando
está próximo de 2.
Passo 4
Para provar a continuidade, precisamos que
fique tão pequeno quanto quisermos quando
se aproxima de 2. A desigualdade nos diz que isso está limitado por
.
Passo 5
Sabemos que
tende a zero quando
tende a 2. Multiplicando por 69, a expressão
também tende a zero. Portanto,
também deve tender a zero.
Passo 6
Assim, temos que:
Isso implica que:
Resposta
Portanto, a função
é contínua em
.
Exercícios relacionados
Derive a função utilizando as Regras de Derivação.
Calcule as integrais indefinidas:
Resposta:
Determine a soma das sentenças verdadeiras.
Sentença 4) Se , para todo
, então, necessariamente,
é contínua em
.
Sentença 4) Se
Derive.