Determine T: V longrightarrow W conhecendo os valores de T na base de V.
© T: P1(R) longrightarrow R^2, tal que T(2 t)=(1,1) e T(-1)=(0,3)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar uma transformação linear . A gente sabe como age em duas funções específicas: e . Nosso objetivo é descobrir como transforma qualquer polinômio de primeiro grau , onde e são números reais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que é o espaço das funções polinomiais de grau no máximo 1, ou seja, todas as funções da forma . Esse espaço é bidimensional e pode ser pensado como um plano, onde cada polinômio é representado pelos coeficientes e .

Passo 3

Agora, precisamos entender como a transformação linear age nesse espaço. Como é linear, ela satisfaz duas propriedades importantes:
  1. Adição: para quaisquer polinômios e .
  2. Multiplicação por escalar: para qualquer escalar e polinômio .

Passo 4

Para determinar p(t) = a cdot t + b cdot 1 , vamos expressar qualquer polinômio p(t) = a2 cdot 2t + (-b) cdot (-1) como combinação linear das funções para as quais já temos o valor de . Observamos que:
  • é a parte com ,
  • é a constante.
Podemos escrever como:
Mas queremos relacionar com e . Então, vamos ajustar:

Passo 5

Aplicando a transformação T(p(t)) = T(a2 cdot 2t + (-b) cdot (-1)) nessa combinação:
T(p(t)) = a2 cdot T(2t) + (-b) cdot T(-1)
Pela linearidade de , isso se torna:

Passo 6

Agora substituímos os valores conhecidos de T(p(t)) = a2 cdot (1,1) + (-b) cdot (0,3) :
T(p(t)) = (a2 cdot 1, a2 cdot 1) + (0 cdot (-b), 3 cdot (-b))
Fazendo as multiplicações:
T(p(t)) = (a2, a2) + (0, -3b)

Passo 7

Agora, somamos os componentes correspondentes:
T(p(t)) = (a2 + 0, a2 + (-3b))
T(p(t)) = (a2, a2 - 3b)

Resposta

A transformação T(at + b) = (a2, a2 - 3b) é dada por:

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