Determine
conhecendo os valores de
na base de
.
©
, tal que
e
©
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar uma transformação linear
. A gente sabe como
age em duas funções específicas:
e
. Nosso objetivo é descobrir como
transforma qualquer polinômio de primeiro grau
, onde
e
são números reais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que
é o espaço das funções polinomiais de grau no máximo 1, ou seja, todas as funções da forma
. Esse espaço é bidimensional e pode ser pensado como um plano, onde cada polinômio é representado pelos coeficientes
e
.
Passo 3
Agora, precisamos entender como a transformação linear
age nesse espaço. Como
é linear, ela satisfaz duas propriedades importantes:
- Adição:
para quaisquer polinômios e . - Multiplicação por escalar:
para qualquer escalar e polinômio .
Passo 4
Para determinar
, vamos expressar qualquer polinômio
como combinação linear das funções para as quais já temos o valor de
. Observamos que:
-
é a parte com , -
é a constante.
Podemos escrever
como:
Mas queremos relacionar com
e
. Então, vamos ajustar:
Passo 5
Aplicando a transformação
nessa combinação:
Pela linearidade de
, isso se torna:
Passo 6
Agora substituímos os valores conhecidos de
:
Fazendo as multiplicações:
Passo 7
Agora, somamos os componentes correspondentes:
Resposta
A transformação
é dada por:
Exercícios relacionados
Indicando com card
o número de elementos do conjunto finito
, prove: Se
e
são finitos então
é finito e
.
Quais das transformações abaixo são lineares?
(q)
(q)
Defina
pondo
e
. Prove que
é uma bijeção (isto mostra que
é enumerável).
Resolva o sistema linear:
Por escalonamento
Por escalonamento