Determine conhecendo os valores de na base de .
© , tal que e

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar uma transformação linear . A gente sabe como age em duas funções específicas: e . Nosso objetivo é descobrir como transforma qualquer polinômio de primeiro grau , onde e são números reais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que é o espaço das funções polinomiais de grau no máximo 1, ou seja, todas as funções da forma . Esse espaço é bidimensional e pode ser pensado como um plano, onde cada polinômio é representado pelos coeficientes e .

Passo 3

Agora, precisamos entender como a transformação linear age nesse espaço. Como é linear, ela satisfaz duas propriedades importantes:
  1. Adição: para quaisquer polinômios e .
  2. Multiplicação por escalar: para qualquer escalar e polinômio .

Passo 4

Para determinar , vamos expressar qualquer polinômio como combinação linear das funções para as quais já temos o valor de . Observamos que:
  • é a parte com ,
  • é a constante.
Podemos escrever como:
Mas queremos relacionar com e . Então, vamos ajustar:

Passo 5

Aplicando a transformação nessa combinação:
Pela linearidade de , isso se torna:

Passo 6

Agora substituímos os valores conhecidos de :
Fazendo as multiplicações:

Passo 7

Agora, somamos os componentes correspondentes:

Resposta

A transformação é dada por:

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Indicando com card o número de elementos do conjunto finito , prove: Se e são finitos então é finito e .
Quais das transformações abaixo são lineares?
(q)
Defina pondo e . Prove que é uma bijeção (isto mostra que é enumerável).
Resolva o sistema linear:

Por escalonamento