Resolva o sistema linear:
cx+y+z=4 2 x+y-z=-1 3 x+y+2 z=4
Por escalonamento

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um sistema de equações lineares com três incógnitas x + y + z = 4 2x + y - z = -1 3x + y + 2z = 4 , e :
Vamos usar o método de escalonamento (eliminação de Gauss) para resolver esse sistema.

Passo 2

Vamos organizar o sistema em uma matriz aumentada:
1 & 1 & 1 & | & 4 2 & 1 & -1 & | & -1 3 & 1 & 2 & | & 4
O objetivo é transformar essa matriz em uma forma triangular, facilitando a resolução das incógnitas.

Passo 3

Primeiro, queremos eliminar o (2x + y - z) - 2(x + y + z) = -1 - 2 cdot 4 das equações 2 e 3. Para isso, podemos subtrair 2 vezes a primeira equação da segunda e 3 vezes a primeira equação da terceira.
  • Para a Equação 2:
(2x - 2x) + (y - 2y) + (-z - 2z) = -1 - 8 implies -y -3z = -9
Simplificando:
(3x + y + 2z) - 3(x + y + z) = 4 - 3 cdot 4
  • Para a Equação 3:
(3x - 3x) + (y - 3y) + (2z - 3z) = 4 - 12 implies -2y -z = -8
Simplificando:
x + y + z = 4 - y -3z = -9 -2y -z = -8
Agora, o sistema fica:

Passo 4

Vamos resolver as equações 2 e 3 para encontrar - y -3z = -9 implies y + 3z = 9 e -2y -z = -8 implies 2y + z = 8 . Primeiro, podemos simplificar as equações:
  • Equação 2:
y + 3z = 9 2y + z = 8
  • Equação 3:
Agora, temos um sistema com duas equações e duas incógnitas:

Passo 5

Vamos resolver esse sistema para encontrar 2y + z = 8 implies z = 8 - 2y e y + 3(8 - 2y) = 9 . Podemos isolar uma das variáveis na segunda equação para facilitar.
Da segunda equação:
y + 24 - 6y = 9 implies -5y + 24 = 9 implies -5y = -15 implies y = 3
Substituindo z = 8 - 2 cdot 3 = 8 - 6 = 2 na primeira equação:
Simplificando:
Agora, substituindo na equação :

Passo 6

Com os valores de x + y + z = 4 implies x + 3 + 2 = 4 implies x + 5 = 4 implies x = -1 e , podemos substituir na primeira equação para encontrar :

Resposta

A solução do sistema é:
x = -1, y = 3, z = 2

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