Indicando com card X o número de elementos do conjunto finito X, prove: Se X e Y são finitos então X times Y é finito e card(X times Y)=card X cdot card Y.

Passo 1

Vamos lá! A questão pede para a gente provar que se os conjuntos e são finitos, então o produto cartesiano também é finito. Além disso, queremos mostrar que o número de elementos de é igual ao produto do número de elementos de e de . Para resolver isso, vamos usar conceitos básicos de conjuntos e produto cartesiano.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um conjunto finito. Um conjunto é finito se ele tem um número limitado de elementos. Por exemplo, o conjunto é finito porque tem exatamente 3 elementos.

Passo 3

Agora, o produto cartesiano é o conjunto de todos os pares ordenados onde o primeiro elemento vem de e o segundo de . Por exemplo, se e , então .

Passo 4

Como e são finitos, digamos que e , onde e são números naturais. Cada elemento de pode ser combinado com cada elemento de , formando pares diferentes.

Passo 5

Para provar que é finito, observamos que estamos combinando um número finito de elementos de com um número finito de elementos de . Não há como gerar infinitos pares porque e são finitos.

Passo 6

Agora, para encontrar card(X times Y) = |X| cdot |Y| , que é o número de elementos de , multiplicamos o número de elementos de pelo número de elementos de :
Isso porque cada um dos elementos de pode ser emparelhado com cada um dos elementos de , totalizando pares.

Resposta

Portanto, se e são conjuntos finitos, então também é finito e .

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