Indicando com card
o número de elementos do conjunto finito
, prove: Se
e
são finitos então
é finito e
.
Passo 1
Vamos lá! A questão pede para a gente provar que se os conjuntos
e
são finitos, então o produto cartesiano
também é finito. Além disso, queremos mostrar que o número de elementos de
é igual ao produto do número de elementos de
e de
. Para resolver isso, vamos usar conceitos básicos de conjuntos e produto cartesiano.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um conjunto finito. Um conjunto é finito se ele tem um número limitado de elementos. Por exemplo, o conjunto
é finito porque tem exatamente 3 elementos.
Passo 3
Agora, o produto cartesiano
é o conjunto de todos os pares ordenados onde o primeiro elemento vem de
e o segundo de
. Por exemplo, se
e
, então
.
Passo 4
Como
e
são finitos, digamos que
e
, onde
e
são números naturais. Cada elemento de
pode ser combinado com cada elemento de
, formando
pares diferentes.
Passo 5
Para provar que
é finito, observamos que estamos combinando um número finito de elementos de
com um número finito de elementos de
. Não há como gerar infinitos pares porque
e
são finitos.
Passo 6
Agora, para encontrar
, que é o número de elementos de
, multiplicamos o número de elementos de
pelo número de elementos de
:
Isso porque cada um dos
elementos de
pode ser emparelhado com cada um dos
elementos de
, totalizando
pares.
Resposta
Portanto, se
e
são conjuntos finitos, então
também é finito e
.