Quais das transformações abaixo são lineares?
(q)
(q)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a transformação
é linear. Estamos falando de transformações lineares, que são um conceito fundamental na álgebra linear. Para resolver isso, a gente vai precisar entender o que é uma transformação linear e quais são as propriedades que ela precisa ter.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação
é linear se duas condições forem satisfeitas para quaisquer vetores
e
e qualquer escalar
:
- Aditividade:
- Homogeneidade:
Essas duas propriedades garantem que a transformação preserve a estrutura linear do espaço.
Passo 3
Vamos verificar a aditividade para a transformação
. Seja
e
. Então:
Agora, calculando
:
Vemos que
, então a aditividade está satisfeita.
Passo 4
Agora, vamos verificar a homogeneidade. Seja
um escalar e
. Então:
Calculando
:
Novamente, temos que
, então a homogeneidade também está satisfeita.
Resposta
A transformação
é linear.
Exercícios relacionados
Mostre que se
e
são espaços vetoriais de dimensão finita tais que
e se
então as seguintes condições são equivalentes:
(d) leva bases de
em bases de
.
(d)
Mostre que se
e
são espaços vetoriais de dimensão finita tais que
e se
então as seguintes condições são equivalentes:
© é bijetora.
©
Indicando com card
o número de elementos do conjunto finito
, prove: Se
e
são finitos então
é finito e
.
Determine
conhecendo os valores de
na base de
.
© , tal que
e
©