Quais das transformações abaixo são lineares?
(q)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a transformação é linear. Estamos falando de transformações lineares, que são um conceito fundamental na álgebra linear. Para resolver isso, a gente vai precisar entender o que é uma transformação linear e quais são as propriedades que ela precisa ter.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação é linear se duas condições forem satisfeitas para quaisquer vetores e e qualquer escalar :
  1. Aditividade:
  2. Homogeneidade:
Essas duas propriedades garantem que a transformação preserve a estrutura linear do espaço.

Passo 3

Vamos verificar a aditividade para a transformação . Seja e . Então:
Agora, calculando :
Vemos que , então a aditividade está satisfeita.

Passo 4

Agora, vamos verificar a homogeneidade. Seja um escalar e . Então:
Calculando :
Novamente, temos que , então a homogeneidade também está satisfeita.

Resposta

A transformação é linear.

Exercícios relacionados

Mostre que se e são espaços vetoriais de dimensão finita tais que e se então as seguintes condições são equivalentes:
(d) leva bases de em bases de .
Mostre que se e são espaços vetoriais de dimensão finita tais que e se então as seguintes condições são equivalentes:
© é bijetora.
Indicando com card o número de elementos do conjunto finito , prove: Se e são finitos então é finito e .
Determine conhecendo os valores de na base de .
© , tal que e