Quais das transformações abaixo são lineares?
(q) T: R^2 longrightarrow M2 times 2, T(x, y)=[rrx & y y & -x]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a transformação é linear. Estamos falando de transformações lineares, que são um conceito fundamental na álgebra linear. Para resolver isso, a gente vai precisar entender o que é uma transformação linear e quais são as propriedades que ela precisa ter.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação é linear se duas condições forem satisfeitas para quaisquer vetores e e qualquer escalar :
  1. Aditividade:
  2. Homogeneidade:
Essas duas propriedades garantem que a transformação preserve a estrutura linear do espaço.

Passo 3

Vamos verificar a aditividade para a transformação T(u + v) = T(x1 + x2, y1 + y2) = x1 + x2 & y1 + y2 y1 + y2 & -(x1 + x2) . Seja T(u) + T(v) = x1 & y1 y1 & -x1 + x2 & y2 y2 & -x2 = x1 + x2 & y1 + y2 y1 + y2 & -x1 - x2 e . Então:
Agora, calculando :
Vemos que , então a aditividade está satisfeita.

Passo 4

Agora, vamos verificar a homogeneidade. Seja T(cu) = T(cx, cy) = cx & cy cy & -cx um escalar e cT(u) = c x & y y & -x = cx & cy cy & -cx . Então:
Calculando :
Novamente, temos que , então a homogeneidade também está satisfeita.

Resposta

A transformação é linear.

Exercícios relacionados