Determine a tensão v(t) para t>0 nos terminais de uma associação série de um resistor de 10 Omega com um capacitor de 10 mF . Sabe-se que a tensão no capacitor em t=0 é -25 V e a corrente que atravessa o conjunto é dada por: i(t)=5 e^-10 t(A).
Re: v(t)=25 [V]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um circuito que tem um resistor de e um capacitor de ligados em série. Queremos encontrar a tensão nos terminais desse conjunto para qualquer tempo . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de circuitos RC (resistor-capacitor) e entender como a corrente e a tensão se comportam nesse tipo de associação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em um circuito em série, a tensão total v(t) = VR(t) + VC(t) é igual à soma das tensões nos componentes individuais. Ou seja:
Aqui, é a tensão no resistor e é a tensão no capacitor.

Passo 3

Vamos começar calculando a tensão no resistor VR(t) = i(t) times R . Sabemos que a tensão no resistor é dada pela Lei de Ohm:
VR(t) = 5 e^-10t times 10 = 50 e^-10t V
Onde:
  • é a corrente que passa pelo resistor, que é A.
  • é a resistência, que é .
Então,

Passo 4

Agora, vamos calcular a tensão no capacitor VC(t) = VC(0) + 1C integral0^t i(tau),dtau . A tensão no capacitor pode ser encontrada usando a seguinte relação:
Onde:
  • é a tensão inicial no capacitor, que é V.
  • é a capacitância, que é .
  • é a variável de integração.

Passo 5

Vamos resolver a integral:
integral0^t 5 e^-10tau,dtau
A integral de integral0^t 5 e^-10tau,dtau = 5 [-110 e^-10tau]0^t = -510 (e^-10t - 1) = 510 (1 - e^-10t) = 12 (1 - e^-10t) é . Então,

Passo 6

Substituindo de volta na expressão para VC(t) = -25 + 10,01 times 12 (1 - e^-10t) :
VC(t) = -25 + 100 times 12 (1 - e^-10t) = -25 + 50 (1 - e^-10t)
VC(t) = -25 + 50 - 50 e^-10t = 25 - 50 e^-10t V

Passo 7

Agora, juntando as duas tensões para encontrar a tensão total v(t) = VR(t) + VC(t) = 50 e^-10t + (25 - 50 e^-10t) = 25 V :

Resposta

A tensão nos terminais do circuito é constante e igual a para todo .

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