Determine the invariants, and principal values and directions of the following matrices. Use the determined principal directions to establish a principal coordinate system, and formally transform (rotate) the given matrix into the principal system to arrive at the appropriate diagonal form.
(b) [rrr-2 & 1 & 0 1 & -2 & 0 0 & 0 & 0] (Answer : lambdai=-3,-1,0)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar os invariantes, os valores e direções principais dessa matriz. Basicamente, vamos calcular os autovalores e autovetores dela. Depois, vamos usar esses autovetores para mudar o sistema de coordenadas e transformar a matriz numa forma diagonal, que é mais simples de trabalhar. Para isso, vamos precisar saber como calcular determinantes e resolver equações características.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz. Os autovalores são os valores que satisfazem a equação característica:
det(A - lambda I) = 0
Aqui, é a matriz dada e é a matriz identidade do mesmo tamanho.

Passo 3

Vamos montar a matriz A - lambda I = -2 - lambda & 1 & 0 1 & -2 - lambda & 0 0 & 0 & -lambda :

Passo 4

Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
det(A - lambda I) = (-2 - lambda) cdot [(-2 - lambda)(-lambda) - (0 cdot 0)] - 1 cdot [1 cdot (-lambda) - 0 cdot 0] + 0 cdot [dots]
Simplificando:
det(A - lambda I) = (-2 - lambda)(2lambda + lambda^2) + lambda
Continuando a simplificação:
= (-2)(2lambda + lambda^2) - lambda(2lambda + lambda^2) + lambda
= -4lambda - 2lambda^2 - 2lambda^2 - lambda^3 + lambda
= -lambda^3 -4lambda^2 -3lambda

Passo 5

Igualamos o determinante a zero para encontrar os autovalores:
-lambda^3 -4lambda^2 -3lambda = 0
Fatorando:
-lambda(lambda^2 + 4lambda + 3) = 0
Resolvendo:
lambda = 0 ou lambda^2 + 4lambda + 3 = 0
Para a equação quadrática:
lambda = -4 pm raiz16 - 122 = -4 pm 22
Então:
lambda = -1 e lambda = -3

Passo 6

Agora que temos os autovalores: , e , vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.

Passo 7

Para 1 & 1 & 0 1 & 1 & 0 0 & 0 & 3 v1 v2 v3 = 0 0 0 , resolvemos v1 + v2 = 0 e v3 = 0 :

[
1 -1 0


]
Isso nos dá:
Então, um autovetor é .

Passo 8

Para -1 & 1 & 0 1 & -1 & 0 0 & 0 & 1 v1 v2 v3 = 0 0 0 , resolvemos - v1 + v2 = 0 e v3 = 0 :

[
1 1 0


]
Isso nos dá:
Então, um autovetor é .

Passo 9

Para -2 & 1 & 0 1 & -2 & 0 0 & 0 & 0 v1 v2 v3 = 0 0 0 , resolvemos -2v1 + v2 = 0 e v1 - 2v2 = 0 e 0 = 0 :

[
0 0 1


]
Isso nos dá:
Resolvendo, vemos que e pode ser qualquer valor. Então, um autovetor é .

Passo 10

Agora que temos os autovalores e autovetores, podemos formar a matriz de autovetores P = 1 & 1 & 0 -1 & 1 & 0 0 & 0 & 1 :

Passo 11

Para transformar a matriz P^-1AP = D na forma diagonal, usamos a relação:
Onde é a matriz diagonal com os autovalores na diagonal.

Passo 12

Calculando D = -3 & 0 & 0 0 & -1 & 0 0 & 0 & 0 :

Resposta

Os autovalores da matriz são 1 -1 0, 1 1 0 e 0 0 1. Os autovetores correspondentes são D = -3 & 0 & 0 0 & -1 & 0 0 & 0 & 0 , e , respectivamente. Usando esses autovetores, a matriz na base principal fica diagonalizada assim:

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