Determine the invariants, and principal values and directions of the following matrices. Use the determined principal directions to establish a principal coordinate system, and formally transform (rotate) the given matrix into the principal system to arrive at the appropriate diagonal form.
(b) (Answer : lambdai=-3,-1,0)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar os invariantes, os valores e direções principais dessa matriz. Basicamente, vamos calcular os autovalores e autovetores dela. Depois, vamos usar esses autovetores para mudar o sistema de coordenadas e transformar a matriz numa forma diagonal, que é mais simples de trabalhar. Para isso, vamos precisar saber como calcular determinantes e resolver equações características.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz. Os autovalores são os valores que satisfazem a equação característica:
det(A - lambda I) = 0
Aqui, é a matriz dada e é a matriz identidade do mesmo tamanho.
Passo 3
Vamos montar a matriz A - lambda I = -2 - lambda & 1 & 0 1 & -2 - lambda & 0 0 & 0 & -lambda :
Resolvendo, vemos que e pode ser qualquer valor. Então, um autovetor é .
Passo 10
Agora que temos os autovalores e autovetores, podemos formar a matriz de autovetores P = 1 & 1 & 0 -1 & 1 & 0 0 & 0 & 1 :
Passo 11
Para transformar a matriz P^-1AP = D na forma diagonal, usamos a relação:
Onde é a matriz diagonal com os autovalores na diagonal.
Passo 12
Calculando D = -3 & 0 & 0 0 & -1 & 0 0 & 0 & 0 :
Resposta
Os autovalores da matriz são 1 -1 0, 1 1 0 e 0 0 1. Os autovetores correspondentes são D = -3 & 0 & 0 0 & -1 & 0 0 & 0 & 0 , e , respectivamente. Usando esses autovetores, a matriz na base principal fica diagonalizada assim: