Determine the invariants, and principal values and directions of the following matrices. Use the determined principal directions to establish a principal coordinate system, and formally transform (rotate) the given matrix into the principal system to arrive at the appropriate diagonal form.
(d) [rrr6 & -3 & 0 -3 & 6 & 0 0 & 0 & 6]( Answer : lambdai=3,6,9)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar os invariantes, os valores principais (autovalores) e as direções principais (autovetores) da matriz dada. Depois, a gente vai usar essas direções principais para estabelecer um sistema de coordenadas principal e transformar a matriz original nesse novo sistema, deixando-a na forma diagonal. Para isso, vamos precisar de conhecimentos sobre matrizes, autovalores, autovetores e mudanças de base.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a matriz que estamos trabalhando:
A = 6 & -3 & 0 -3 & 6 & 0 0 & 0 & 6
Essa é uma matriz simétrica, o que facilita um pouco nosso trabalho, já que sabemos que os autovalores serão reais e os autovetores serão ortogonais.

Passo 3

Agora, vamos encontrar os autovalores dessa matriz. Para isso, precisamos resolver a equação característica:
det(A - lambda I) = 0
Onde representa os autovalores e é a matriz identidade.

Passo 4

Vamos montar a matriz A - lambda I = 6 - lambda & -3 & 0 -3 & 6 - lambda & 0 0 & 0 & 6 - lambda :
det(A - lambda I) = (6 - lambda)[(6 - lambda)(6 - lambda) - 0] - (-3)[-3(6 - lambda) - 0] + 0
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
det(A - lambda I) = (6 - lambda)[(6 - lambda)^2] - (-3)[-3(6 - lambda)]
Simplificando:
= (6 - lambda)^3 - 9(6 - lambda)
= (6 - lambda)[(6 - lambda)^2 - 9]
= (6 - lambda)[(6 - lambda) - 3][(6 - lambda) + 3]
= (6 - lambda)(3 - lambda)(9 - lambda)

Passo 5

As soluções da equação característica são os valores de (6 - lambda)(3 - lambda)(9 - lambda) = 0 que tornam o determinante zero:
lambda1 = 3, lambda2 = 6, lambda3 = 9
Portanto, os autovalores são:

Passo 6

Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada A - 3I = 3 & -3 & 0 -3 & 3 & 0 0 & 0 & 3 .
Para cada 1 1 0 , resolvemos A - 6I = 0 & -3 & 0 -3 & 0 & 0 0 & 0 & 0 , onde 1 -1 0 é o autovetor.
Para A - 9I = -3 & -3 & 0 -3 & -3 & 0 0 & 0 & -3 :
0 0 1
Resolvendo , obtemos que os autovetores associados são da forma .
Para :
Resolvendo , os autovetores são da forma .
Para :
Resolvendo , o autovetor é .

Passo 7

Com os autovalores e autovetores em mãos, podemos agora estabelecer o sistema de coordenadas principal. Isso envolve usar os autovetores como as novas direções das coordenadas.
Organizamos os autovetores em uma matriz de mudança de base P = 1 & 1 & 0 1 & -1 & 0 0 & 0 & 1 :

Passo 8

Para transformar a matriz original D = P^-1AP no sistema de coordenadas principal, usamos a seguinte fórmula de transformação:
Onde será a matriz diagonal com os autovalores na diagonal principal.

Passo 9

Calculando P^-1 = 12 1 & 1 & 0 1 & -1 & 0 0 & 0 & 2 :
D = 12 1 & 1 & 0 1 & -1 & 0 0 & 0 & 2 6 & -3 & 0 -3 & 6 & 0 0 & 0 & 6 1 & 1 & 0 1 & -1 & 0 0 & 0 & 1
Agora, multiplicamos D = 3 & 0 & 0 0 & 6 & 0 0 & 0 & 9 , e :
Após realizar as multiplicações, obtemos:

Resposta

Os autovalores são D = 3 & 0 & 0 0 & 6 & 0 0 & 0 & 9 , e . A matriz transformada no sistema de coordenadas principal é diagonal e dada por:

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