Determine the invariants, and principal values and directions of the following matrices. Use the determined principal directions to establish a principal coordinate system, and formally transform (rotate) the given matrix into the principal system to arrive at the appropriate diagonal form.
(d) Answer : lambdai=3,6,9)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar os invariantes, os valores principais (autovalores) e as direções principais (autovetores) da matriz dada. Depois, a gente vai usar essas direções principais para estabelecer um sistema de coordenadas principal e transformar a matriz original nesse novo sistema, deixando-a na forma diagonal. Para isso, vamos precisar de conhecimentos sobre matrizes, autovalores, autovetores e mudanças de base.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a matriz que estamos trabalhando:
A = 6 & -3 & 0 -3 & 6 & 0 0 & 0 & 6
Essa é uma matriz simétrica, o que facilita um pouco nosso trabalho, já que sabemos que os autovalores serão reais e os autovetores serão ortogonais.
Passo 3
Agora, vamos encontrar os autovalores dessa matriz. Para isso, precisamos resolver a equação característica:
det(A - lambda I) = 0
Onde representa os autovalores e é a matriz identidade.
Resolvendo , obtemos que os autovetores associados são da forma .
Para :
Resolvendo , os autovetores são da forma .
Para :
Resolvendo , o autovetor é .
Passo 7
Com os autovalores e autovetores em mãos, podemos agora estabelecer o sistema de coordenadas principal. Isso envolve usar os autovetores como as novas direções das coordenadas.
Organizamos os autovetores em uma matriz de mudança de base P = 1 & 1 & 0 1 & -1 & 0 0 & 0 & 1 :
Passo 8
Para transformar a matriz original D = P^-1AP no sistema de coordenadas principal, usamos a seguinte fórmula de transformação:
Onde será a matriz diagonal com os autovalores na diagonal principal.