Determine the invariants, and principal values and directions of the following matrices. Use the determined principal directions to establish a principal coordinate system, and formally transform (rotate) the given matrix into the principal system to arrive at the appropriate diagonal form.
© [rrr-1 & 1 & 0 1 & -1 & 0 0 & 0 & 0] (Answer: lambdai=-2,0,0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar os invariantes, os valores principais (autovalores) e as direções principais (autovetores) da matriz dada. Depois, vamos usar essas direções principais para estabelecer um sistema de coordenadas principal e transformar a matriz original nesse novo sistema, chegando à forma diagonal apropriada. Para isso, vamos precisar de conceitos de álgebra linear, especificamente sobre autovalores e autovetores de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os invariantes da matriz. Os invariantes mais comuns são o traço (a soma dos elementos da diagonal principal) e o determinante da matriz.
A matriz dada é:
A = -1 & 1 & 0 1 & -1 & 0 0 & 0 & 0
O traço de Tr(A) = (-1) + (-1) + 0 = -2 é:
det(A) = 0 cdot det(-1 & 1 1 & -1) - 0 cdot det(cdot) + 0 cdot det(cdot) = 0
O determinante de pode ser calculado expandindo pela terceira linha:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os autovalores de det(A - lambda I) = 0 . Para isso, resolvemos a equação característica:
A - lambda I = -1 - lambda & 1 & 0 1 & -1 - lambda & 0 0 & 0 & -lambda
Onde det(A - lambda I) = (-lambda) cdot det -1 - lambda & 1 1 & -1 - lambda = (-lambda) cdot [(-1 - lambda)^2 - 1] = 0 é a matriz identidade e (-1 - lambda)^2 - 1 = (lambda + 1)^2 - 1 = lambda^2 + 2lambda + 1 - 1 = lambda^2 + 2lambda representa os autovalores. Calculando -lambda (lambda^2 + 2lambda) = 0 implies -lambda (lambda)(lambda + 2) = 0 :
lambda = 0 (com mu
Calculando o determinante:
Simplificando:
Então:
As soluções são:
Portanto, os autovalores são , , e .

Passo 4

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Para 1 & 1 & 0 1 & 1 & 0 0 & 0 & 2 v1 v2 v3 = 0 0 0 :
Resolvemos v1 + v2 = 0 e 2v3 = 0 :

[
-1 & 1 & 0 1 & -1 & 0 0 & 0 & 0 v1 v2 v3 = 0 0 0
- v1 + v2 = 0 e v1 - v2 = 0


]
Isso nos dá as equações:
Então, e . Podemos escolher , então o autovetor é .
Para :
Resolvemos :

[


]
Isso nos dá as equações:
Da primeira equação, . A terceira componente é livre. Podemos escolher e , então um autovetor é . Mas, como tem multiplicidade 2, precisamos de outro autovetor linearmente independente.
Escolhendo , temos .

Passo 5

Agora que temos os autovetores, podemos estabelecer o sistema de coordenadas principal usando esses vetores como base. Como a matriz v1 = 1 -1 0 , v2 = 1 1 1 , v3 = 1 1 0 é simétrica, sabemos que seus autovetores são mutuamente ortogonais.
Os autovetores são:
|v1| = raiz1^2 + (-1)^2 + 0^2 = raiz2
Para formar uma base ortonormal, devemos normalizar esses vetores.
Normalizando u1 = 1raiz2 1 -1 0 :
|v2| = raiz1^2 + 1^2 + 1^2 = raiz3
u2 = 1raiz3 1 1 1
Normalizando |v3| = raiz1^2 + 1^2 + 0^2 = raiz2 :
u3 = 1raiz2 1 1 0
Normalizando :

Passo 6

Com a base ortonormal P = 1raiz2 & 1raiz3 & 1raiz2 -1raiz2 & 1raiz3 & 1raiz2 0 & 1raiz3 & 0 , podemos formar a matriz de mudança de base A' = P^T A P :
A' = -2 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0
Agora, para transformar a matriz no sistema de coordenadas principal, usamos a fórmula:
Como é uma matriz ortonormal, , e será a matriz diagonal com os autovalores na diagonal:

Resposta

Os autovalores são A' = -2 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 , e . A matriz transformada no sistema de coordenadas principal fica diagonalizada como:

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