Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar os invariantes, os valores principais (autovalores) e as direções principais (autovetores) da matriz dada. Depois, vamos usar essas direções principais para estabelecer um sistema de coordenadas principal e transformar a matriz original nesse novo sistema, chegando à forma diagonal apropriada. Para isso, vamos precisar de conceitos de álgebra linear, especificamente sobre autovalores e autovetores de matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os invariantes da matriz. Os invariantes mais comuns são o traço (a soma dos elementos da diagonal principal) e o determinante da matriz.
Então, e . Podemos escolher , então o autovetor é .
Para :
Resolvemos :
[
]
Isso nos dá as equações:
Da primeira equação, . A terceira componente é livre. Podemos escolher e , então um autovetor é . Mas, como tem multiplicidade 2, precisamos de outro autovetor linearmente independente.
Escolhendo , temos .
Passo 5
Agora que temos os autovetores, podemos estabelecer o sistema de coordenadas principal usando esses vetores como base. Como a matriz v1 = 1 -1 0 , v2 = 1 1 1 , v3 = 1 1 0 é simétrica, sabemos que seus autovetores são mutuamente ortogonais.
Os autovetores são:
|v1| = raiz1^2 + (-1)^2 + 0^2 = raiz2
Para formar uma base ortonormal, devemos normalizar esses vetores.
Normalizando u1 = 1raiz2 1 -1 0 :
|v2| = raiz1^2 + 1^2 + 1^2 = raiz3
u2 = 1raiz3 1 1 1
Normalizando |v3| = raiz1^2 + 1^2 + 0^2 = raiz2 :
u3 = 1raiz2 1 1 0
Normalizando :
Passo 6
Com a base ortonormal P = 1raiz2 & 1raiz3 & 1raiz2 -1raiz2 & 1raiz3 & 1raiz2 0 & 1raiz3 & 0 , podemos formar a matriz de mudança de base A' = P^T A P :
A' = -2 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0
Agora, para transformar a matriz no sistema de coordenadas principal, usamos a fórmula:
Como é uma matriz ortonormal, , e será a matriz diagonal com os autovalores na diagonal:
Resposta
Os autovalores são A' = -2 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 , e . A matriz transformada no sistema de coordenadas principal fica diagonalizada como: