Calculate the quantities nabla u, nabla times u, nabla^2 u, nabla u, tr(nabla u) for the following Cartesian vector fields:
(a) u=x1 e1+x1 x2 e2+2 x1 x2 x3 e3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que calcular algumas coisas importantes para o campo vetorial dado:
u = x1 e1 + x1 x2 e2 + 2 x1 x2 x3 e3
Aqui, estamos trabalhando com cálculo vetorial em coordenadas cartesianas. As quantidades que vamos precisar calcular são:
  1. Divergente ( nabla cdot u)
  2. Rotacional ( nabla times u)
  3. Laplaciano ( nabla^2 u)
  4. Gradiente ( nabla u)
  5. Traço do gradiente ( tr(nabla u))
Vamos passo a passo para cada uma dessas operações!

Passo 2

1. Calculando o Divergente ( nabla cdot u):
O divergente de um campo vetorial u = u1 e1 + u2 e2 + u3 e3 é dado por:
nabla cdot u = partial u1partial x1 + partial u2partial x2 + partial u3partial x3
Vamos calcular cada derivada parcial:
  • partial u1partial x1 = partialpartial x1(x1) = 1
  • partial u2partial x2 = partialpartial x2(x1 x2) = x1
  • partial u3partial x3 = partialpartial x3(2 x1 x2 x3) = 2 x1 x2
Agora, somamos tudo:
nabla cdot u = 1 + x1 + 2 x1 x2

Passo 3

2. Calculando o Rotacional ( nabla times u):
O rotacional é dado por:
nabla times u = ( partial u3partial x2 - partial u2partial x3 ) e1 + ( partial u1partial x3 - partial u3partial x1 ) e2 + ( partial u2partial x1 - partial u1partial x2 ) e3
Vamos calcular cada componente:
  • Componente e1:
    • partial u3partial x2 = partialpartial x2(2 x1 x2 x3) = 2 x1 x3
    • partial u2partial x3 = partialpartial x3(x1 x2) = 0
    • Então, e1 = 2 x1 x3 - 0 = 2 x1 x3
  • Componente e2:
    • partial u1partial x3 = partialpartial x3(x1) = 0
    • partial u3partial x1 = partialpartial x1(2 x1 x2 x3) = 2 x2 x3
    • Então, e2 = 0 - 2 x2 x3 = -2 x2 x3
  • Componente e3:
    • partial u2partial x1 = partialpartial x1(x1 x2) = x2
    • partial u1partial x2 = partialpartial x2(x1) = 0
    • Então, e3 = x2 - 0 = x2
Portanto, o rotacional fica:
nabla times u = 2 x1 x3 e1 - 2 x2 x3 e2 + x2 e3

Passo 4

3. Calculando o Laplaciano ( nabla^2 u):
O Laplaciano de um campo vetorial é calculado componente a componente:
nabla^2 u = ( nabla^2 u1 ) e1 + ( nabla^2 u2 ) e2 + ( nabla^2 u3 ) e3
Onde o Laplaciano de cada componente é:
nabla^2 f = partial^2 fpartial x1^2 + partial^2 fpartial x2^2 + partial^2 fpartial x3^2
Vamos calcular para cada componente:
  • Para u1 = x1:
    • partial^2 u1partial x1^2 = 0
    • partial^2 u1partial x2^2 = 0
    • partial^2 u1partial x3^2 = 0
    • Então, nabla^2 u1 = 0
  • Para u2 = x1 x2:
    • partial^2 u2partial x1^2 = 0
    • partial^2 u2partial x2^2 = 0
    • partial^2 u2partial x3^2 = 0
    • Então, nabla^2 u2 = 0
  • Para u3 = 2 x1 x2 x3:
    • partial^2 u3partial x1^2 = 0
    • partial^2 u3partial x2^2 = 0
    • partial^2 u3partial x3^2 = 0
    • Então, nabla^2 u3 = 0
Portanto, o Laplaciano do campo vetorial é:
nabla^2 u = 0 e1 + 0 e2 + 0 e3 = 0

Passo 5

4. Calculando o Gradiente ( nabla u):
O gradiente de um campo vetorial resulta em um tensor (ou matriz) onde cada elemento é a derivada parcial de uma componente da função vetorial em relação a uma coordenada. Formalmente:
nabla u = partial u1partial x1 & partial u1partial x2 & partial u1partial x3 partial u2partial x1 & partial u2partial x2 & partial u2partial x3 partial u3partial x1 & partial u3partial x2 & partial u3partial x3
Vamos calcular cada derivada:
  • Primeira linha ( u1 = x1):
    • partial u1partial x1 = 1
    • partial u1partial x2 = 0
    • partial u1partial x3 = 0
  • Segunda linha ( u2 = x1 x2):
    • partial u2partial x1 = x2
    • partial u2partial x2 = x1
    • partial u2partial x3 = 0
  • Terceira linha ( u3 = 2 x1 x2 x3):
    • partial u3partial x1 = 2 x2 x3
    • partial u3partial x2 = 2 x1 x3
    • partial u3partial x3 = 2 x1 x2
Então, o gradiente fica:
nabla u = 1 & 0 & 0 x2 & x1 & 0 2 x2 x3 & 2 x1 x3 & 2 x1 x2

Passo 6

5. Calculando o Traço do Gradiente ( tr(nabla u)):
O traço de uma matriz é a soma dos elementos da diagonal principal. Para o gradiente que calculamos:
nabla u = 1 & 0 & 0 x2 & x1 & 0 2 x2 x3 & 2 x1 x3 & 2 x1 x2
Então, o traço é:
tr(nabla u) = 1 + x1 + 2 x1 x2
Curiosamente, isso é igual ao divergente que calculamos no Passo 2!

Resposta

As quantidades calculadas para o campo vetorial dado são:
  1. Divergente ( nabla cdot u):
    nabla cdot u = 1 + x1 + 2 x1 x2
  2. Rotacional ( nabla times u):
    nabla times u = 2 x1 x3 e1 - 2 x2 x3 e2 + x2 e3
  3. Laplaciano ( nabla^2 u):
    nabla^2 u = 0
  4. Gradiente ( nabla u):
    nabla u = 1 & 0 & 0 x2 & x1 & 0 2 x2 x3 & 2 x1 x3 & 2 x1 x2
  5. Traço do Gradiente ( tr(nabla u)):
    tr(nabla u) = 1 + x1 + 2 x1 x2

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