Calculate the quantities , for the following Cartesian vector fields:
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que calcular algumas coisas importantes para o campo vetorial dado:
Aqui, estamos trabalhando com cálculo vetorial em coordenadas cartesianas. As quantidades que vamos precisar calcular são:
Divergente ()
Rotacional ()
Laplaciano ()
Gradiente ()
Traço do gradiente ()
Vamos passo a passo para cada uma dessas operações!
Passo 2
1. Calculando o Divergente ():
O divergente de um campo vetorial é dado por:
Vamos calcular cada derivada parcial:
Agora, somamos tudo:
Passo 3
2. Calculando o Rotacional ():
O rotacional é dado por:
Vamos calcular cada componente:
Componente :
Então, =
Componente :
Então, =
Componente :
Então, =
Portanto, o rotacional fica:
Passo 4
3. Calculando o Laplaciano ():
O Laplaciano de um campo vetorial é calculado componente a componente:
Onde o Laplaciano de cada componente é:
Vamos calcular para cada componente:
Para :
Então,
Para :
Então,
Para :
Então,
Portanto, o Laplaciano do campo vetorial é:
Passo 5
4. Calculando o Gradiente ():
O gradiente de um campo vetorial resulta em um tensor (ou matriz) onde cada elemento é a derivada parcial de uma componente da função vetorial em relação a uma coordenada. Formalmente: