Encontre as raízes da equação
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação juntos! A questão é encontrar as raízes da equação
. Isso envolve álgebra de números complexos e equações polinomiais. Para resolver, vamos precisar:
- Entender como simplificar a equação.
- Usar a substituição para transformar a equação quartica em uma quadrática.
- Aplicar a fórmula de Bhaskara para resolver equações quadráticas com números complexos.
- Encontrar as raízes quadradas de números complexos.
Passo 2
Primeiro, vamos rearranjar a equação para trazê-la para a forma padrão igualada a zero:
Isso facilita a identificação do tipo de equação que estamos lidando.
Passo 3
Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar a equação. Se deixarmos
, então
. Substituindo na equação, temos:
Agora, temos uma equação quadrática em termos de
, o que é mais fácil de resolver.
Passo 4
Vamos resolver a equação quadrática
usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
, e
. Calculando:
Agora, precisamos calcular a raiz quadrada de
.
Passo 5
Para achar
, vamos representar esse número na forma
tal que:
Expandindo:
Isso nos dá o sistema de equações:
Resolvendo a segunda equação para
:
Substituindo na primeira equação:
Fazendo a substituição
:
Resolvendo essa equação quadrática:
Então,
ou
. Como
n��o pode ser negativo, temos
, então
ou
. Correspondentemente,
ou
.
Portanto,
ou
.
Passo 6
Voltando à fórmula de Bhaskara:
Calculando as duas possibilidades:
Então, temos duas soluções para
:
e
.
Passo 7
Agora, lembrando que
, precisamos encontrar
tal que:
Vamos resolver cada uma separadamente.
Para
:
Representamos
na forma
. Queremos encontrar
tal que:
Isso nos dá o sistema:
Resolvendo, temos
. Substituindo na primeira equação:
Substituindo
:
Então,
ou
(desconsideramos
pois
). Logo,
e
.
Assim, as soluções são:
Para
:
Queremos encontrar
tal que:
Isso nos dá:
Como
, então
ou
.
- Se
:
- Se
:
Portanto, apenas as soluções
e
são válidas.
Resposta
As raízes da equação são: