Encontre as raízes da equação z^4 - 3(1 + 2i)z^2 = 8 - 6i.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação juntos! A questão é encontrar as raízes da equação . Isso envolve álgebra de números complexos e equações polinomiais. Para resolver, vamos precisar:
  • Entender como simplificar a equação.
  • Usar a substituição para transformar a equação quartica em uma quadrática.
  • Aplicar a fórmula de Bhaskara para resolver equações quadráticas com números complexos.
  • Encontrar as raízes quadradas de números complexos.

Passo 2

Primeiro, vamos rearranjar a equação para trazê-la para a forma padrão igualada a zero:
Isso facilita a identificação do tipo de equação que estamos lidando.

Passo 3

Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar a equação. Se deixarmos , então . Substituindo na equação, temos:
Agora, temos uma equação quadrática em termos de , o que é mais fácil de resolver.

Passo 4

Vamos resolver a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , , e . Calculando:
Agora, precisamos calcular a raiz quadrada de .

Passo 5

Para achar , vamos representar esse número na forma tal que:
Expandindo:
Isso nos dá o sistema de equações:
Resolvendo a segunda equação para :
Substituindo na primeira equação:
Fazendo a substituição :
Resolvendo essa equação quadrática:
Então, ou . Como n��o pode ser negativo, temos , então ou . Correspondentemente, ou .
Portanto, ou .

Passo 6

Voltando à fórmula de Bhaskara:
Calculando as duas possibilidades:
Então, temos duas soluções para : e .

Passo 7

Agora, lembrando que , precisamos encontrar tal que:
Vamos resolver cada uma separadamente.
Para :
Representamos na forma . Queremos encontrar tal que:
Isso nos dá o sistema:
Resolvendo, temos . Substituindo na primeira equação:
Substituindo :
Então, ou (desconsideramos pois ). Logo, e .
Assim, as soluções são:
Para :
Queremos encontrar tal que:
Isso nos dá:
Como , então ou .
  1. Se :
ã
  1. Se :
ãáçã
Portanto, apenas as soluções e são válidas.

Resposta

As raízes da equação são:

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