Determine todos os elementos
tais que
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos que encontrar todos os elementos
no grupo
que satisfazem a equação:
Aqui,
é o grupo simétrico de todas as permutações de 3 elementos, e
representa a permutação identidade (que não muda nada). Vamos precisar entender os tipos de elementos que estão em
e como eles se comportam quando elevados a potências.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é estruturado o grupo
. Esse grupo tem 6 elementos, que são todas as possíveis permutações de 3 objetos. Esses elementos podem ser divididos em dois tipos principais:
- Permutações de ordem 1: Apenas a identidade
, que não muda nada. - Permutações de ordem 2: As transposições, que trocam dois elementos.
- Permutações de ordem 3: As chamadas trissomas ou 3-ciclos, que ciclicamente permutam três elementos.
A ordem de um elemento é o menor número positivo
tal que
.
Passo 3
Agora, queremos encontrar todos os
que satisfazem
e
. Vamos analisar cada tipo de permutação:
-
Identidade
: Temos que , mas como a condição pede , vamos descartar esse caso. -
Transposições (ordem 2): Se
é uma transposição, então . Portanto, , o que não satisfaz a condição . -
3-ciclos (ordem 3): Se
é um 3-ciclo, então . Além disso, por definição, já que está ciclando três elementos.
Passo 4
Concluímos então que os únicos elementos de
que satisfazem
e
são os 3-ciclos. Em
, existem exatamente dois 3-ciclos:
Essas são as únicas permutações que, quando elevadas ao cubo, retornam à identidade sem serem a própria identidade.
Resposta
Os elementos que satisfazem
e
em
são:
Exercícios relacionados
Prove que todo grupo cíclico é abeliano.
Escreva a equação reduzida da elipse, dados:
Mostre que os únicos subgrupos de
são os subgrupos
, onde
.
Classifique os conjuntos abaixo em L.I. ou L.D.
b) .
b)