Determine todos os elementos f in S3 tais que
f^3=e, f neq e

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos que encontrar todos os elementos f^3 = e, f neq e no grupo que satisfazem a equação:
Aqui, é o grupo simétrico de todas as permutações de 3 elementos, e representa a permutação identidade (que não muda nada). Vamos precisar entender os tipos de elementos que estão em e como eles se comportam quando elevados a potências.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é estruturado o grupo . Esse grupo tem 6 elementos, que são todas as possíveis permutações de 3 objetos. Esses elementos podem ser divididos em dois tipos principais:
  1. Permutações de ordem 1: Apenas a identidade , que não muda nada.
  2. Permutações de ordem 2: As transposições, que trocam dois elementos.
  3. Permutações de ordem 3: As chamadas trissomas ou 3-ciclos, que ciclicamente permutam três elementos.
A ordem de um elemento é o menor número positivo tal que .

Passo 3

Agora, queremos encontrar todos os que satisfazem e . Vamos analisar cada tipo de permutação:
  • Identidade : Temos que , mas como a condição pede , vamos descartar esse caso.
  • Transposições (ordem 2): Se é uma transposição, então . Portanto, , o que não satisfaz a condição .
  • 3-ciclos (ordem 3): Se é um 3-ciclo, então . Além disso, por definição, já que está ciclando três elementos.

Passo 4

Concluímos então que os únicos elementos de que satisfazem e são os 3-ciclos. Em , existem exatamente dois 3-ciclos:
Essas são as únicas permutações que, quando elevadas ao cubo, retornam à identidade sem serem a própria identidade.

Resposta

Os elementos que satisfazem f = (1,2,3) e f = (1,3,2) e em são:

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