Prove que todo grupo cíclico é abeliano.

Passo 1

Então, o que a gente precisa fazer aqui é provar que todo grupo cíclico é abeliano. Estamos falando de teoria de grupos, que é uma parte da matemática que estuda conjuntos com uma operação que combina dois elementos para formar um terceiro, seguindo certas regras. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um grupo cíclico e o que significa ser abeliano.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um grupo cíclico. Um grupo cíclico é um grupo que pode ser gerado por um único elemento. Isso significa que todo elemento do grupo pode ser obtido a partir desse elemento gerador, aplicando a operação do grupo várias vezes. Por exemplo, se tomarmos o elemento como gerador, então todos os elementos do grupo são , onde é o elemento neutro.

Passo 3

Agora, vamos lembrar o que significa um grupo ser abeliano. Um grupo é abeliano se a operação do grupo é comutativa, ou seja, para quaisquer dois elementos e do grupo, a ordem em que aplicamos a operação não altera o resultado: .

Passo 4

Vamos começar a prova. Suponha que seja um grupo cíclico gerado por . Isso significa que todo elemento de pode ser escrito como para algum inteiro .

Passo 5

Agora, peguemos dois elementos quaisquer do grupo . Vamos chamar esses elementos de e , onde e são inteiros.

Passo 6

Vamos calcular o produto desses dois elementos na ordem . Como estamos em um grupo, a operação é associativa, então podemos escrever isso como .

Passo 7

Da mesma forma, vamos calcular o produto na ordem inversa: . Novamente, usando a propriedade associativa, obtemos .

Passo 8

Observamos que porque a soma de inteiros é comutativa. Portanto, .

Passo 9

Isso significa que para quaisquer inteiros e . Como escolhemos elementos quaisquer e , isso mostra que a operação no grupo é comutativa.

Resposta

Assim, concluímos que todo grupo cíclico é abeliano.

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