Prove que todo grupo cíclico é abeliano.
Passo 1
Então, o que a gente precisa fazer aqui é provar que todo grupo cíclico é abeliano. Estamos falando de teoria de grupos, que é uma parte da matemática que estuda conjuntos com uma operação que combina dois elementos para formar um terceiro, seguindo certas regras. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um grupo cíclico e o que significa ser abeliano.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um grupo cíclico. Um grupo cíclico é um grupo que pode ser gerado por um único elemento. Isso significa que todo elemento do grupo pode ser obtido a partir desse elemento gerador, aplicando a operação do grupo várias vezes. Por exemplo, se tomarmos o elemento
como gerador, então todos os elementos do grupo são
, onde
é o elemento neutro.
Passo 3
Agora, vamos lembrar o que significa um grupo ser abeliano. Um grupo é abeliano se a operação do grupo é comutativa, ou seja, para quaisquer dois elementos
e
do grupo, a ordem em que aplicamos a operação não altera o resultado:
.
Passo 4
Vamos começar a prova. Suponha que
seja um grupo cíclico gerado por
. Isso significa que todo elemento de
pode ser escrito como
para algum inteiro
.
Passo 5
Agora, peguemos dois elementos quaisquer do grupo
. Vamos chamar esses elementos de
e
, onde
e
são inteiros.
Passo 6
Vamos calcular o produto desses dois elementos na ordem
. Como estamos em um grupo, a operação é associativa, então podemos escrever isso como
.
Passo 7
Da mesma forma, vamos calcular o produto na ordem inversa:
. Novamente, usando a propriedade associativa, obtemos
.
Passo 8
Observamos que
porque a soma de inteiros é comutativa. Portanto,
.
Passo 9
Isso significa que
para quaisquer inteiros
e
. Como escolhemos elementos quaisquer
e
, isso mostra que a operação no grupo
é comutativa.
Resposta
Assim, concluímos que todo grupo cíclico é abeliano.
Exercícios relacionados
Escreva a equação reduzida da elipse, dados:
Determine todas as classes laterais à esquerda dos respectivos subgrupos, isto é, os conjuntos quocientes
(observe qual é a operação no grupo):
(e) em
, onde
e
.
(e)
Determine todos os elementos
tais que
Mostre que os únicos subgrupos de
são os subgrupos
, onde
.