Determine todos os inteiros
para os quais
é redutível sobre
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrarmos todos os números inteiros
que fazem com que o polinômio
seja redutível sobre os números inteiros
. Isso significa que queremos saber para quais valores de
esse polinômio pode ser fatorado em polinômios de grau menor com coeficientes inteiros. Para resolver isso, vamos precisar usar a teoria de fatores de polinômios e o Teorema das Raízes Racionais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa um polinômio ser redutível. Um polinômio é redutível sobre
se ele puder ser escrito como o produto de dois ou mais polinômios de grau menor com coeficientes inteiros. No nosso caso, como o polinômio é de grau 3, a única forma de fatoração seria em um polinômio de grau 1 e outro de grau 2.
Passo 3
Para que
seja redutível, ele deve ter pelo menos uma raiz inteira. Isso significa que existe algum inteiro
tal que
satisfaça a equação
. Uma vez que encontrarmos
, podemos fatorar o polinômio como
, onde
e
são inteiros que precisamos determinar.
Passo 4
Vamos usar o Teorema das Raízes Racionais, que nos diz que possíveis raízes racionais de um polinômio com coeficientes inteiros são as frações
, onde
divide o termo constante e
divide o coeficiente líder. No nosso polinômio, o termo constante é 2 e o coeficiente líder é 1. Portanto, as possíveis raízes inteiras são
e
.
Passo 5
Vamos testar cada uma dessas possíveis raízes substituindo no polinômio
:
-
Para
: -
Para
: -
Para
: -
Para
:
Passo 6
Observamos que os valores de
que tornam o polinômio redutível são
,
e
. Notamos que
aparece duas vezes, mas isso não muda o resultado final.
Resposta
Os inteiros
que fazem com que
seja redutível sobre
são: