Determine todos os inteiros a para os quais x^3 + a*x + 2 é redutível sobre Z.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrarmos todos os números inteiros que fazem com que o polinômio seja redutível sobre os números inteiros . Isso significa que queremos saber para quais valores de esse polinômio pode ser fatorado em polinômios de grau menor com coeficientes inteiros. Para resolver isso, vamos precisar usar a teoria de fatores de polinômios e o Teorema das Raízes Racionais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa um polinômio ser redutível. Um polinômio é redutível sobre se ele puder ser escrito como o produto de dois ou mais polinômios de grau menor com coeficientes inteiros. No nosso caso, como o polinômio é de grau 3, a única forma de fatoração seria em um polinômio de grau 1 e outro de grau 2.

Passo 3

Para que seja redutível, ele deve ter pelo menos uma raiz inteira. Isso significa que existe algum inteiro tal que satisfaça a equação . Uma vez que encontrarmos , podemos fatorar o polinômio como , onde e são inteiros que precisamos determinar.

Passo 4

Vamos usar o Teorema das Raízes Racionais, que nos diz que possíveis raízes racionais de um polinômio com coeficientes inteiros são as frações , onde divide o termo constante e divide o coeficiente líder. No nosso polinômio, o termo constante é 2 e o coeficiente líder é 1. Portanto, as possíveis raízes inteiras são e .

Passo 5

Vamos testar cada uma dessas possíveis raízes substituindo no polinômio :
  1. Para :
  2. Para :
  3. Para :
  4. Para :

Passo 6

Observamos que os valores de que tornam o polinômio redutível são , e . Notamos que aparece duas vezes, mas isso não muda o resultado final.

Resposta

Os inteiros que fazem com que seja redutível sobre são:

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