Uma partícula se desloca sobre o eixo x de acordo com uma função posição x = x(t). Sendo v(t) = x'(t) a função velocidade da partícula e a t = x''(t) a função aceleração da partícula, determine x = x(t) nos casos abaixo:
a(t) = -e^(2t), v(0) = 1 e x(0) = 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma partícula que se move no eixo com uma função de posição . A aceleração dessa partícula é dada por , e temos as condições iniciais de velocidade e posição . Nosso objetivo é encontrar a função posição .
Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, mais especificamente integração, já que aceleracão é a derivada da velocidade e a velocidade é a derivada da posição. Então, basicamente, vamos integrar a aceleração para achar a velocidade e depois integrar a velocidade para achar a posição.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que aceleração é a derivada da velocidade . Ou seja:
Para encontrar , precisamos integrar a aceleração em relação ao tempo :
Onde é a constante de integração que vamos determinar usando a condição inicial .

Passo 3

Vamos substituir na integral:
A integral de em relação a é:
Então, temos:

Passo 4

Agora, vamos usar a condição inicial para encontrar :
Então, a função velocidade fica:

Passo 5

Agora que temos , vamos encontrar a posição . Sabemos que a velocidade é a derivada da posição:
Para encontrar , vamos integrar a velocidade em relação ao tempo:
Onde é a constante de integração que vamos determinar usando a condição inicial .

Passo 6

Vamos substituir na integral:
Integrando termo a termo:

Passo 7

Agora, usamos a condição inicial para encontrar :
Então, a função posição fica:

Resposta

A função posição da partícula é:

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