Uma partícula se desloca sobre o eixo
de acordo com uma função posição
. Sendo
a função velocidade da partícula e a
a função aceleração da partícula, determine
nos casos abaixo:
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma partícula que se move no eixo
com uma função de posição
. A aceleração dessa partícula é dada por
, e temos as condições iniciais de velocidade
e posição
. Nosso objetivo é encontrar a função posição
.
Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, mais especificamente integração, já que aceleracão é a derivada da velocidade e a velocidade é a derivada da posição. Então, basicamente, vamos integrar a aceleração para achar a velocidade e depois integrar a velocidade para achar a posição.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que aceleração
é a derivada da velocidade
. Ou seja:
Para encontrar
, precisamos integrar a aceleração em relação ao tempo
:
Onde
é a constante de integração que vamos determinar usando a condição inicial
.
Passo 3
Vamos substituir
na integral:
A integral de
em relação a
é:
Então, temos:
Passo 4
Agora, vamos usar a condição inicial
para encontrar
:
Então, a função velocidade fica:
Passo 5
Agora que temos
, vamos encontrar a posição
. Sabemos que a velocidade é a derivada da posição:
Para encontrar
, vamos integrar a velocidade em relação ao tempo:
Onde
é a constante de integração que vamos determinar usando a condição inicial
.
Passo 6
Vamos substituir
na integral:
Integrando termo a termo:
Passo 7
Agora, usamos a condição inicial
para encontrar
:
Então, a função posição fica:
Resposta
A função posição da partícula é: