Seja
fixado. Mostre que
é irredutível se, somente se,
é irredutível.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que, se a gente tem um polinômio
com coeficientes inteiros (
) e fixar um inteiro
, então
é irredutível se, e somente se,
também é irredutível.
Aqui estamos trabalhando com polinômios de coeficientes inteiros e o conceito de irredutibilidade, que significa que o polinômio não pode ser fatorado em dois polinômios de grau menor com coeficientes inteiros. Para resolver isso, vamos precisar entender como a substituição
por
afeta a estrutura do polinômio e sua capacidade de ser fatorado.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa um polinômio ser irredutível. Um polinômio
em
é chamado de irredutível se não podemos escrever
como o produto de dois polinômios não constantes com coeficientes inteiros.
Por exemplo,
é irredutível em
porque não há dois polinômios de grau menor que 2 com coeficientes inteiros que multiplicados dão
.
Passo 3
Agora, queremos mostrar que substituir
por
não muda a irredutibilidade do polinômio. Ou seja, se
não pode ser fatorado, então
também não pode, e vice-versa.
Para isso, vamos usar uma transformação de mudança de variável. Basicamente, estamos aplicando uma substituição que desloca
por
. Isso não altera a essência do polinômio, apenas muda sua “posição” no eixo
.
Passo 4
Vamos supor que
é irredutível. Queremos mostrar que
também é irredutível.
Se, por contradição,
fosse redutível, ou seja, se pudesse ser escrito como
com
de grau menor que
, então substituindo de volta, teríamos:
Isso significaria que
também seria redutível, o que é uma contradição, já que
é irredutível. Portanto, nossa suposição inicial estava errada, e
deve ser irredutível.
Passo 5
Agora, vamos pensar no contrário. Suponha que
é irredutível. Queremos mostrar que
também é irredutível.
Se
fosse redutível, então poderíamos escrever
com
de grau menor que
. Fazendo a substituição
por
, teríamos:
Isso significaria que
também seria redutível, o que é uma contradição, já que assumimos que
é irredutível. Portanto,
deve ser irredutível.
Resposta
Concluímos que
em
é irredutível se, e somente se,
também é irredutível, para qualquer inteiro fixo
.