Seja c em Z fixado. Mostre que f(x) in Z[x] é irredutível se, somente se, f(x+c) é irredutível.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que, se a gente tem um polinômio com coeficientes inteiros ( ) e fixar um inteiro , então é irredutível se, e somente se, também é irredutível.
Aqui estamos trabalhando com polinômios de coeficientes inteiros e o conceito de irredutibilidade, que significa que o polinômio não pode ser fatorado em dois polinômios de grau menor com coeficientes inteiros. Para resolver isso, vamos precisar entender como a substituição por afeta a estrutura do polinômio e sua capacidade de ser fatorado.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa um polinômio ser irredutível. Um polinômio em é chamado de irredutível se não podemos escrever como o produto de dois polinômios não constantes com coeficientes inteiros.
Por exemplo, é irredutível em porque não há dois polinômios de grau menor que 2 com coeficientes inteiros que multiplicados dão .

Passo 3

Agora, queremos mostrar que substituir por não muda a irredutibilidade do polinômio. Ou seja, se não pode ser fatorado, então também não pode, e vice-versa.
Para isso, vamos usar uma transformação de mudança de variável. Basicamente, estamos aplicando uma substituição que desloca por . Isso não altera a essência do polinômio, apenas muda sua “posição” no eixo .

Passo 4

Vamos supor que é irredutível. Queremos mostrar que também é irredutível.
Se, por contradição, fosse redutível, ou seja, se pudesse ser escrito como com de grau menor que , então substituindo de volta, teríamos:
Isso significaria que também seria redutível, o que é uma contradição, já que é irredutível. Portanto, nossa suposição inicial estava errada, e deve ser irredutível.

Passo 5

Agora, vamos pensar no contrário. Suponha que é irredutível. Queremos mostrar que também é irredutível.
Se fosse redutível, então poderíamos escrever com de grau menor que . Fazendo a substituição por , teríamos:
Isso significaria que também seria redutível, o que é uma contradição, já que assumimos que é irredutível. Portanto, deve ser irredutível.

Resposta

Concluímos que em é irredutível se, e somente se, também é irredutível, para qualquer inteiro fixo .

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