Determine todos os operadores lineares S do R^2 tais que S(x, y)=(a x+b y, c x) e S^2=I.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar todos os operadores lineares no espaço que são definidos por e que satisfazem , onde é a matriz identidade. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como operadores lineares e matrizes. Vamos precisar entender como multiplicar matrizes e como encontrar condições para que uma matriz ao quadrado seja igual à identidade.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar o operador linear S = a & b c & 0 como uma matriz. Sabemos que qualquer operador linear em pode ser representado por uma matriz 2x2. Assim, temos:
Aqui, os elementos , e são os coeficientes que precisamos determinar.

Passo 3

Agora, vamos calcular S^2 = S cdot S = a & b c & 0 cdot a & b c & 0 = a^2 + b c & a b a c & b c , que é o produto da matriz consigo mesma:

Passo 4

Queremos que I = 1 & 0 0 & 1 , onde a^2 + b c = 1 a b = 0 a c = 0 b c = 1 é a matriz identidade:
Portanto, devemos igualar as respectivas entradas das matrizes e :

Passo 5

Vamos resolver esse sistema de equações passo a passo. Da segunda equação , temos duas possibilidades: ou .
Caso 1:
  • A terceira equação é automaticamente satisfeita.
  • A quarta equação nos dá .
  • Substituindo na primeira equação: , que já é satisfeita pela quarta equação.
Portanto, neste caso, temos , , com .
Caso 2:
  • A quarta equação se torna , o que é impossível.
Então, o único caso válido é com .

Passo 6

Agora, vamos expressar todas as matrizes S = 0 & b 1b & 0 que satisfazem as condições encontradas:
Onde é qualquer número real diferente de zero.

Resposta

Todos os operadores lineares S = 0 & b 1b & 0 que satisfazem são da forma
onde é qualquer número real diferente de zero.

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