Determine todos os operadores lineares do tais que e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar todos os operadores lineares no espaço que são definidos por e que satisfazem , onde é a matriz identidade. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como operadores lineares e matrizes. Vamos precisar entender como multiplicar matrizes e como encontrar condições para que uma matriz ao quadrado seja igual à identidade.
Passo 2
Primeiro, vamos expressar o operador linear como uma matriz. Sabemos que qualquer operador linear em pode ser representado por uma matriz 2x2. Assim, temos:
Aqui, os elementos , e são os coeficientes que precisamos determinar.
Passo 3
Agora, vamos calcular , que é o produto da matriz consigo mesma:
Passo 4
Queremos que , onde é a matriz identidade:
Portanto, devemos igualar as respectivas entradas das matrizes e :
Passo 5
Vamos resolver esse sistema de equações passo a passo. Da segunda equação , temos duas possibilidades: ou .
Caso 1:
A terceira equação é automaticamente satisfeita.
A quarta equação nos dá .
Substituindo na primeira equação: , que já é satisfeita pela quarta equação.
Portanto, neste caso, temos , , com .
Caso 2:
A quarta equação se torna , o que é impossível.
Então, o único caso válido é com .
Passo 6
Agora, vamos expressar todas as matrizes que satisfazem as condições encontradas:
Onde é qualquer número real diferente de zero.
Resposta
Todos os operadores lineares que satisfazem são da forma