(g) Qual é a diferença entre Operador Nilpotente e Operador Idempotente?

Passo 1

Beleza, então a questão pede pra gente entender a diferença entre Operador Nilpotente e Operador Idempotente. Isso tá dentro da matéria de Álgebra Linear, mais especificamente sobre operadores lineares. Pra resolver isso, vamos precisar saber o que cada um desses operadores significa e quais são suas propriedades principais.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre Operador Nilpotente. Um operador linear em um espaço vetorial é chamado de nilpotente se existe um número inteiro positivo tal que . Isso significa que, se aplicarmos o operador várias vezes, ele eventualmente “anula” qualquer vetor.
Por exemplo, se tivermos um operador tal que , então é nilpotente de índice 3.

Passo 3

Agora, vamos para o Operador Idempotente. Um operador linear é idempotente se, quando aplicado duas vezes, o resultado é o próprio operador. Matematicamente, isso é escrito como:
Isso quer dizer que, depois de aplicar o operador uma vez, aplicá-lo de novo não muda nada. Um exemplo clássico de operador idempotente é o operador projeção.

Passo 4

Então, resumindo as definições:
  • Nilpotente: Existe um tal que .
  • Idempotente: .

Passo 5

Agora, vamos ver as principais diferenças entre eles:
  1. Comportamento após múltiplas aplicações:
    • Nilpotente: Após certo número de aplicações, o operador “desaparece” (vira zero).
    • Idempotente: Depois da primeira aplicação, aplicar de novo não muda nada.
  2. Exemplos de uso:
    • Nilpotente: Frequente em teoria de matrizes e transformações que reduzem a dimensão do espaço vetorial progressivamente.
    • Idempotente: Usado em projeções, onde você projeta um vetor em um subespaço e aplicar a projeção de novo não altera o vetor projetado.
  3. Equações características:
    • Nilpotente: Todos os autovalores são zero.
    • Idempotente: Os autovalores são 0 ou 1.

Passo 6

Vamos conectar isso com a teoria:
  • Nilpotência está relacionada a operadores que têm um comportamento “decrescente”, levando vetores cada vez mais perto do zero.
  • Idempotência está ligada a operadores que estabilizam vetores após uma aplicação, mantendo-os fixos.

Resposta

A principal diferença entre um Operador Nilpotente e um Operador Idempotente está no comportamento após múltiplas aplicações: um operador nilpotente, ao ser aplicado repetidamente, eventualmente resulta no operador zero após um certo número de vezes, enquanto um operador idempotente, após a primeira aplicação, mantém-se inalterado em aplicações subsequentes. Além disso, operadores nilpotentes têm todos os autovalores iguais a zero, já os operadores idempotentes possuem autovalores 0 ou 1.

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Se A é uma matriz e se , pode-se afirmar que:
b) O espaço-linha e o espaço-coluna são o próprio ?
(f)
Determine todos os operadores lineares do tais que e .