(f)

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear definida por . Vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como espaço vetorial, transformações lineares, núcleo (kernel) e imagem (imagem). Vamos resolver isso passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a matriz associada à transformação linear . Isso nos ajudará a visualizar e calcular outras propriedades, como o núcleo e a imagem.

Passo 3

Para encontrar a matriz de , pensamos em como age sobre os vetores padrão de . Os vetores padrão são , , , e .
Calculando :
Calculando :
Calculando :
Calculando :
Portanto, a matriz de é:

Passo 4

Agora, vamos encontrar o núcleo (kernel) de , que é o conjunto de todos os vetores tais que .
Matematicamente, queremos resolver a equação :

Passo 5

Vamos resolver esse sistema de equações:
  1. Da primeira equação, temos .
  2. Da segunda equação, , o que implica .
  3. Da terceira equação, , substituindo , obtemos .
Portanto, .
  1. Da quarta equação, , com , temos .

Passo 6

Assim, o núcleo de é apenas o vetor zero:
Isso significa que é injetora (ou seja, uma transformação linear injetora).

Passo 7

Vamos agora determinar a imagem de , que é o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como para algum .
O espaço imagem será gerado pelas colunas da matriz . As colunas de são:

Passo 8

Para determinar a dimensão da imagem, precisamos ver quantas dessas colunas são linearmente independentes. Observando, vemos que a primeira coluna e a segunda coluna são linearmente independentes. A terceira coluna é igual à segunda coluna multiplicada por -1 e mais a segunda coluna, o que a torna dependente. A quarta coluna também é independente.
Assim, a dimensão da imagem (rank) é 3.

Passo 9

Portanto, a imagem de é um subespaço de de dimensão 3, formado por combinações lineares das colunas independentes da matriz .

Passo 10

Resumindo, a transformação linear tem:
  • Núcleo trivial: (geralmente associada à injetividade).
  • Imagem de dimensão 3: é um subespaço de com dimensão 3.

Resposta

A transformação é injetora e sua imagem é um subespaço de de dimensão 3.

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