Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear definida por . Vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como espaço vetorial, transformações lineares, núcleo (kernel) e imagem (imagem). Vamos resolver isso passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a matriz associada à transformação linear . Isso nos ajudará a visualizar e calcular outras propriedades, como o núcleo e a imagem.
Passo 3
Para encontrar a matriz de , pensamos em como age sobre os vetores padrão de . Os vetores padrão são , , , e .
Calculando :
Calculando :
Calculando :
Calculando :
Portanto, a matriz de é:
Passo 4
Agora, vamos encontrar o núcleo (kernel) de , que é o conjunto de todos os vetores tais que .
Matematicamente, queremos resolver a equação :
Passo 5
Vamos resolver esse sistema de equações:
Da primeira equação, temos .
Da segunda equação, , o que implica .
Da terceira equação, , substituindo , obtemos .
Portanto, .
Da quarta equação, , com , temos .
Passo 6
Assim, o núcleo de é apenas o vetor zero:
Isso significa que é injetora (ou seja, uma transformação linear injetora).
Passo 7
Vamos agora determinar a imagem de , que é o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como para algum .
O espaço imagem será gerado pelas colunas da matriz . As colunas de são:
Passo 8
Para determinar a dimensão da imagem, precisamos ver quantas dessas colunas são linearmente independentes. Observando, vemos que a primeira coluna e a segunda coluna são linearmente independentes. A terceira coluna é igual à segunda coluna multiplicada por -1 e mais a segunda coluna, o que a torna dependente. A quarta coluna também é independente.
Assim, a dimensão da imagem (rank) é 3.
Passo 9
Portanto, a imagem de é um subespaço de de dimensão 3, formado por combinações lineares das colunas independentes da matriz .
Passo 10
Resumindo, a transformação linear tem:
Núcleo trivial: (geralmente associada à injetividade).
Imagem de dimensão 3: é um subespaço de com dimensão 3.
Resposta
A transformação é injetora e sua imagem é um subespaço de de dimensão 3.