Determine todos os pontos do gráfico de em que a reta tangente a ele seja:
(a) Horizontal.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar todos os pontos do gráfico da função onde a reta tangente é horizontal. Esse problema está relacionado ao cálculo diferencial, especificamente ao estudo das derivadas para determinar a inclinação da reta tangente em pontos específicos da função.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que significa ter uma reta tangente horizontal. Uma reta horizontal tem inclinação zero. Portanto, precisamos encontrar os pontos onde a derivada da função , que representa a inclinação da reta tangente, é igual a zero.

Passo 3

Vamos calcular a derivada da função . A derivada de uma função nos dá a taxa de variação da função em relação a . Usando as regras de derivação, temos:
Calculando cada termo:

Passo 4

Agora, queremos que a reta tangente seja horizontal, ou seja, a derivada deve ser igual a zero:
Essa é uma equação quadrática que vamos resolver para encontrar os valores de .

Passo 5

Vamos resolver a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Onde , e . Substituindo:
Simplificando a raiz:
Então:

Passo 6

Agora que temos os valores de , vamos encontrar os correspondentes valores de substituindo de volta na função original .
Para :
E para :
Esses cálculos resultam nos valores de correspondentes a cada .

Resposta

Os pontos do gráfico de onde a reta tangente é horizontal são:

Exercícios relacionados

Determine todos os pontos do gráfico de em que a reta tangente a ele seja:
(b) Paralela à reta .
Na lista 11, a seguir, repita todos os passos do exercício 3(para algumas funções).
Seja . Dê condições em e para que seja diferenciável em todos os pontos .
Esboce o gráfico de seguindo o seguinte roteiro:
(a) Determine o domínio máximo de .