Determine todos os pontos do gráfico de
em que a reta tangente a ele seja:
(a) Horizontal.
(a) Horizontal.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar todos os pontos do gráfico da função
onde a reta tangente é horizontal. Esse problema está relacionado ao cálculo diferencial, especificamente ao estudo das derivadas para determinar a inclinação da reta tangente em pontos específicos da função.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que significa ter uma reta tangente horizontal. Uma reta horizontal tem inclinação zero. Portanto, precisamos encontrar os pontos onde a derivada da função
, que representa a inclinação da reta tangente, é igual a zero.
Passo 3
Vamos calcular a derivada da função
. A derivada de uma função nos dá a taxa de variação da função em relação a
. Usando as regras de derivação, temos:
Calculando cada termo:
Passo 4
Agora, queremos que a reta tangente seja horizontal, ou seja, a derivada deve ser igual a zero:
Essa é uma equação quadrática que vamos resolver para encontrar os valores de
.
Passo 5
Vamos resolver a equação quadrática
usando a fórmula de Bhaskara:
Onde
,
e
. Substituindo:
Simplificando a raiz:
Então:
Passo 6
Agora que temos os valores de
, vamos encontrar os correspondentes valores de
substituindo de volta na função original
.
Para
:
E para
:
Esses cálculos resultam nos valores de
correspondentes a cada
.
Resposta
Os pontos do gráfico de
onde a reta tangente é horizontal são:
Exercícios relacionados
Determine todos os pontos do gráfico de
em que a reta tangente a ele seja:
(b) Paralela à reta .
(b) Paralela à reta
Na lista 11, a seguir, repita todos os passos do exercício 3(para algumas funções).
Seja
. Dê condições em
e
para que
seja diferenciável em todos os pontos
.
Esboce o gráfico de
seguindo o seguinte roteiro:
(a) Determine o domínio máximo de .
(a) Determine o domínio máximo de