Seja . Dê condições em e para que seja diferenciável em todos os pontos .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar condições para os coeficientes e de uma função definida por partes ser diferenciável em todos os pontos reais. A função é dada por:
Então, vamos precisar usar conceitos de continuidade e derivabilidade de funções por partes para garantir que não haja “quebras” ou “pontas” na curva dessa função em qualquer ponto, especialmente em .

Passo 2

Primeiro, para a função ser diferenciável em , ela precisa ser contínua nesse ponto. Isso significa que o limite da função quando se aproxima de 1 pelo lado esquerdo deve ser igual ao limite quando se aproxima pelo lado direito, e ambos iguais ao valor da função em .
Vamos calcular esses limites:
Para que a função seja contínua em , esses limites devem ser iguais:

Passo 3

Agora, além da continuidade, precisamos garantir que a derivada da função também seja contínua em . Ou seja, as derivadas das duas partes da função devem se igualar em .
Primeiro, vamos encontrar as derivadas de cada parte:
Agora, calculamos as derivadas nos limites:
Para que a derivada seja contínua em :

Passo 4

Agora que temos , podemos voltar à condição de continuidade para encontrar :

Resposta

Para que a função seja diferenciável em todos os pontos reais, os coeficientes devem ser e .

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Determine todos os pontos do gráfico de em que a reta tangente a ele seja:
(a) Horizontal.
Determine todos os pontos do gráfico de em que a reta tangente a ele seja:
(b) Paralela à reta .
Esboce o gráfico de seguindo o seguinte roteiro:
(a) Determine o domínio máximo de .
Esboce o gráfico de seguindo o seguinte roteiro:
(b) Determine os pontos críticos de .