Seja
. Dê condições em
e
para que
seja diferenciável em todos os pontos
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar condições para os coeficientes
e
de uma função definida por partes ser diferenciável em todos os pontos reais. A função é dada por:
Então, vamos precisar usar conceitos de continuidade e derivabilidade de funções por partes para garantir que não haja “quebras” ou “pontas” na curva dessa função em qualquer ponto, especialmente em
.
Passo 2
Primeiro, para a função ser diferenciável em
, ela precisa ser contínua nesse ponto. Isso significa que o limite da função quando
se aproxima de 1 pelo lado esquerdo deve ser igual ao limite quando se aproxima pelo lado direito, e ambos iguais ao valor da função em
.
Vamos calcular esses limites:
Para que a função seja contínua em
, esses limites devem ser iguais:
Passo 3
Agora, além da continuidade, precisamos garantir que a derivada da função também seja contínua em
. Ou seja, as derivadas das duas partes da função devem se igualar em
.
Primeiro, vamos encontrar as derivadas de cada parte:
Agora, calculamos as derivadas nos limites:
Para que a derivada seja contínua em
:
Passo 4
Agora que temos
, podemos voltar à condição de continuidade
para encontrar
:
Resposta
Para que a função
seja diferenciável em todos os pontos reais, os coeficientes devem ser
e
.
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Determine todos os pontos do gráfico de
em que a reta tangente a ele seja:
(a) Horizontal.
(a) Horizontal.
Determine todos os pontos do gráfico de
em que a reta tangente a ele seja:
(b) Paralela à reta .
(b) Paralela à reta
Esboce o gráfico de
seguindo o seguinte roteiro:
(a) Determine o domínio máximo de .
(a) Determine o domínio máximo de
Esboce o gráfico de
seguindo o seguinte roteiro:
(b) Determine os pontos críticos de .
(b) Determine os pontos críticos de