Determine todos os valores de lambda para os quais det(A-lambda I3)=0, em que:
(a) A=[ccc1 & 0 & 0 -1 & 3 & 0 3 & 2 & -2] Resp: lambda=1,3,-2

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício de encontrar os valores de que satisfazem . Aqui, estamos trabalhando com matrizes e determinantes, que são conceitos da álgebra linear. Para resolver isso, vamos precisar calcular o determinante da matriz e igualá-lo a zero. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é I3 = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 . Aqui, lambda I3 = lambda & 0 & 0 0 & lambda & 0 0 & 0 & lambda é a matriz dada e é a matriz identidade 3x3. A matriz identidade é uma matriz quadrada com 1s na diagonal principal e 0s nas demais posições:
Então, é simplesmente a matriz identidade multiplicada por :

Passo 3

Agora, vamos subtrair A = 1 & 0 & 0 -1 & 3 & 0 3 & 2 & -2 da matriz A - lambda I3 = 1 - lambda & 0 & 0 -1 & 3 - lambda & 0 3 & 2 & -2 - lambda . Dada a matriz :
A subtração fica assim:

Passo 4

Em seguida, vamos calcular o determinante dessa nova matriz det(A - lambda I3) = (1 - lambda)(3 - lambda)(-2 - lambda) + 0 + 0 - 0 - 0 - 0 = (1 - lambda)(3 - lambda)(-2 - lambda) . O determinante de uma matriz 3x3 pode ser calculado usando a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Vamos usar a regra de Sarrus aqui:
Note que muitos termos ficam zero devido aos zeros na matriz.

Passo 5

Agora, igualamos o determinante a zero para encontrar os valores de (1 - lambda)(3 - lambda)(-2 - lambda) = 0 :
1 - lambda = 0 ou 3 - lambda = 0 ou -2 - lambda = 0
Para que o produto seja zero, pelo princípio do produto nulo, pelo menos um dos fatores deve ser zero. Então, temos:

Passo 6

Vamos resolver cada equação:

Resposta

Os valores de que satisfazem são , e .

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