Determine todos os valores de para os quais , em que:
(a) Resp: lambda=1,3,-2
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício de encontrar os valores de que satisfazem . Aqui, estamos trabalhando com matrizes e determinantes, que são conceitos da álgebra linear. Para resolver isso, vamos precisar calcular o determinante da matriz e igualá-lo a zero. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é I3 = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 . Aqui, lambda I3 = lambda & 0 & 0 0 & lambda & 0 0 & 0 & lambda é a matriz dada e é a matriz identidade 3x3. A matriz identidade é uma matriz quadrada com 1s na diagonal principal e 0s nas demais posições:
Então, é simplesmente a matriz identidade multiplicada por :
Em seguida, vamos calcular o determinante dessa nova matriz det(A - lambda I3) = (1 - lambda)(3 - lambda)(-2 - lambda) + 0 + 0 - 0 - 0 - 0 = (1 - lambda)(3 - lambda)(-2 - lambda) . O determinante de uma matriz 3x3 pode ser calculado usando a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Vamos usar a regra de Sarrus aqui:
Note que muitos termos ficam zero devido aos zeros na matriz.
Passo 5
Agora, igualamos o determinante a zero para encontrar os valores de (1 - lambda)(3 - lambda)(-2 - lambda) = 0 :
1 - lambda = 0 ou 3 - lambda = 0 ou -2 - lambda = 0
Para que o produto seja zero, pelo princípio do produto nulo, pelo menos um dos fatores deve ser zero. Então, temos: