Calcule os seguintes determinantes:
(e) |lllll1 & 3 & 2 & 1 & 0 0 & 2 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 1 & 0 & 1 0 & 3 & 2 & 1 & 0 0 & 4 & 0 & 1 & 2| Resp: 8

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular o determinante de uma matriz 5x5. Determinantes são números que dão uma ideia de características da matriz, como se ela pode ser invertida. Para resolver, vamos precisar usar a regra de Sarrus ou a expansão de Laplace, mas como é uma matriz grande, a expansão de Laplace vai ser mais prática. Vou te mostrar passo a passo como fazer isso.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma linha ou coluna para expandir o determinante. É melhor escolher uma linha ou coluna com muitos zeros para facilitar os cálculos. Olhando para a matriz:
1 & 3 & 2 & 1 & 0 0 & 2 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 1 & 0 & 1 0 & 3 & 2 & 1 & 0 0 & 4 & 0 & 1 & 2
Percebo que a primeira coluna tem muitos zeros, então vamos expandir por ela.

Passo 3

Na expansão de Laplace, multiplicamos cada elemento da coluna escolhida pelo cofator correspondente. O cofator leva em conta o menor determinante (chamado de menor) e um sinal que depende da posição do elemento.
Vamos olhar a primeira coluna:
  • Elemento (1,1) = 1
  • Elemento (2,1) = 0
  • Elemento (3,1) = 0
  • Elemento (4,1) = 0
  • Elemento (5,1) = 0
Como todos os outros elementos além do primeiro são zero, só precisamos calcular o cofator do elemento (1,1).

Passo 4

O cofator de (1,1) é dado por:
C11 = (-1)^1+1 times determinante da matriz resu
Isso simplifica para:
C11 = 1 times det(llll 2 & 0 & 0 & 0 1 & 1 & 0 & 1 3 & 2 & 1 & 0 4 & 0 & 1 & 2 )
Agora, precisamos calcular esse determinante 4x4.

Passo 5

Vamos calcular o determinante 4x4 usando novamente a expansão de Laplace. Escolho a segunda coluna porque tem um zero, facilitando os cálculos.
A matriz 4x4 é:
2 & 0 & 0 & 0 1 & 1 & 0 & 1 3 & 2 & 1 & 0 4 & 0 & 1 & 2
Expandindo pelo elemento (1,2) que é 0, o que simplifica, já que esse termo será zero. Então, o determinante é apenas:
2 times det(lll 1 & 0 & 1 2 & 1 & 0 0 & 1 & 2 )

Passo 6

Agora, precisamos calcular o determinante 3x3:
det(lll 1 & 0 & 1 2 & 1 & 0 0 & 1 & 2 )
Usamos a regra de Sarrus:
= 1 times 1 times 2 + 0 times 0 times 0 + 1 times 2 times 1 - (1 times 1 times 0 + 0 times 2 times 2 + 1 times 0 times 1)
= 2 + 0 + 2 - (0 + 0 + 0) = 4

Passo 7

Voltando ao passo anterior, substituímos:
2 times 4 = 8
Então, o cofator .

Resposta

O determinante da matriz é .

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