Determine todos os valores de para os quais em que
ou 3
ou 1
são valores complexos
ou 3

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar todos os valores de que satisfazem a equação . Isso está no campo da álgebra linear, especificamente envolvendo determinantes e matrizes. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o determinante de uma matriz e como calcular determinantes de matrizes triangulares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a matriz que nos foi dada:
Essa é uma matriz triangular superior porque todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero. Isso facilita bastante o cálculo do determinante.

Passo 3

Sabemos que o determinante de uma matriz triangular (seja superior ou inferior) é simplesmente o produto dos elementos da diagonal principal. Ou seja,
No nosso caso, a diagonal principal de é .

Passo 4

Agora, queremos encontrar . Aqui, é a matriz identidade de ordem , que no nosso caso é . Então, fica:
Essa também é uma matriz triangular superior, pois subtrair da diagonal principal não altera os zeros abaixo dela.

Passo 5

Aplicando a mesma lógica do Passo 3, o determinante de será o produto dos elementos da diagonal principal dessa nova matriz:
Queremos que esse determinante seja igual a zero:

Passo 6

Para que o produto seja zero, pelo menos um dos fatores deve ser zero. Então, igualamos cada fator a zero:
Portanto, os valores de que satisfazem a equação são e .

Resposta

ou .

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