Determine todos os valores de para os quais em que
ou 3 ou 1 são valores complexos ou 3
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar todos os valores de que satisfazem a equação . Isso está no campo da álgebra linear, especificamente envolvendo determinantes e matrizes. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o determinante de uma matriz e como calcular determinantes de matrizes triangulares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a matriz que nos foi dada:
Essa é uma matriz triangular superior porque todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero. Isso facilita bastante o cálculo do determinante.
Passo 3
Sabemos que o determinante de uma matriz triangular (seja superior ou inferior) é simplesmente o produto dos elementos da diagonal principal. Ou seja,
No nosso caso, a diagonal principal de é .
Passo 4
Agora, queremos encontrar . Aqui, é a matriz identidade de ordem , que no nosso caso é . Então, fica:
Essa também é uma matriz triangular superior, pois subtrair da diagonal principal não altera os zeros abaixo dela.
Passo 5
Aplicando a mesma lógica do Passo 3, o determinante de será o produto dos elementos da diagonal principal dessa nova matriz:
Queremos que esse determinante seja igual a zero:
Passo 6
Para que o produto seja zero, pelo menos um dos fatores deve ser zero. Então, igualamos cada fator a zero:
Portanto, os valores de que satisfazem a equação são e .