Determine todos os valores de lambda para os quais det(A- lambda In)=0 em que
A=[cccc 1 & 2 & 3 & 4 0 & -1 & 3 & 2 0 & 0 & 3 & 3 0 & 0 & 0 & 2 ]
lambda=2,-1 ou 3
lambda=2,2 ou 1
lambda são valores complexos
lambda=1,2,-1 ou 3

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar todos os valores de que satisfazem a equação . Isso está no campo da álgebra linear, especificamente envolvendo determinantes e matrizes. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o determinante de uma matriz e como calcular determinantes de matrizes triangulares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a matriz A = 1 & 2 & 3 & 4 0 & -1 & 3 & 2 0 & 0 & 3 & 3 0 & 0 & 0 & 2 que nos foi dada:
Essa é uma matriz triangular superior porque todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero. Isso facilita bastante o cálculo do determinante.

Passo 3

Sabemos que o determinante de uma matriz triangular (seja superior ou inferior) é simplesmente o produto dos elementos da diagonal principal. Ou seja,
det(A) = a11 times a22 times a33 times a44
No nosso caso, a diagonal principal de é .

Passo 4

Agora, queremos encontrar A - lambda In = 1-lambda & 2 & 3 & 4 0 & -1-lambda & 3 & 2 0 & 0 & 3-lambda & 3 0 & 0 & 0 & 2-lambda . Aqui, é a matriz identidade de ordem , que no nosso caso é . Então, fica:
Essa também é uma matriz triangular superior, pois subtrair da diagonal principal não altera os zeros abaixo dela.

Passo 5

Aplicando a mesma lógica do Passo 3, o determinante de det(A - lambda In) = (1-lambda) times (-1-lambda) times (3-lambda) times (2-lambda) será o produto dos elementos da diagonal principal dessa nova matriz:
(1-lambda)(-1-lambda)(3-lambda)(2-lambda) = 0
Queremos que esse determinante seja igual a zero:

Passo 6

Para que o produto seja zero, pelo menos um dos fatores deve ser zero. Então, igualamos cada fator a zero:
1 - lambda = 0 Rightarrow lambda = 1 -1 - lambda = 0 Rightarrow lambda = -1 3 - lambda = 0 Rightarrow lambda = 3 2 - lambda = 0 Rightarrow lambda = 2
Portanto, os valores de que satisfazem a equação são e .

Resposta

ou .

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