Sendo e , calcule y e de modo que e faça ângulos iguais com OX e OY.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá dois vetores: e . Precisamos encontrar os valores de e de duas maneiras:
  1. A magnitude do produto vetorial deve ser igual a .
  2. O vetor resultante deve formar ângulos iguais com os eixos OX e OY.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de produto vetorial e propriedades de vetores no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto vetorial . A fórmula do produto vetorial entre dois vetores e é:
Aplicando isso aos vetores e :
Simplificando:

Passo 3

Agora, vamos calcular a magnitude de , que deve ser igual a . A magnitude de um vetor é dada por:
Aplicando isso ao nosso vetor:
Sabemos que essa magnitude deve ser igual a :
Elevando ambos os lados ao quadrado para simplificar:
Expandindo :
Somando os termos semelhantes:

Passo 4

Agora, usamos a segunda condição: o vetor faz ângulos iguais com os eixos OX e OY. Isso significa que as projeções de nesses eixos têm a mesma tangente.
Sabemos que:
  • A projeção de no eixo OX é
  • A projeção no eixo OY é
Como os ângulos com OX e OY são iguais, os módulos dessas projeções devem ser iguais:
Assumindo que e são positivos (para simplificar), temos:

Passo 5

Com a relação , podemos substituir por na equação que obtivemos no Passo 3:
Substituindo :
Dividindo ambos os lados por 12:
E, já que , então:

Resposta

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Considere a matriz:
Calcule o determinante de .
Dados o pontos e . Calcule:
d) a área do triângulo
Determine os valores de a para que a matriz tenha inversa
A é invertível para qualquer valor de a
A não é invertível para qualquer valor de a
A é invertível apenas para a não nulo
A é invertível apenas se a for um número complexo
Determine todos os valores de para os quais em que
ou 3
ou 1
são valores complexos
ou 3