Sendo v=(-2,1,-1) e u=(0, y, z), calcule y e z de modo que |v times u|=4 raiz3 e w=v times u faça ângulos iguais com OX e OY. y=z=2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá dois vetores: v=(-2,1,-1) e u=(0, y, z). Precisamos encontrar os valores de y e z de duas maneiras:
  1. A magnitude do produto vetorial v times u deve ser igual a 4raiz3.
  2. O vetor resultante w = v times u deve formar ângulos iguais com os eixos OX e OY.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de produto vetorial e propriedades de vetores no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto vetorial v times u. A fórmula do produto vetorial entre dois vetores a = (a1, a2, a3) e b = (b1, b2, b3) é:
a times b = ( a2 b3 - a3 b2, a3 b1 - a1 b3, a1 b2 - a2 b1 )
Aplicando isso aos vetores v e u:
w = v times u = (1 cdot z - (-1) cdot y, (-1) cdot 0 - (-2) cdot z, (-2) cdot y - 1 cdot 0)
Simplificando:
w = (z + y, 2z, -2y)

Passo 3

Agora, vamos calcular a magnitude de w, que deve ser igual a 4raiz3. A magnitude de um vetor w = (w1, w2, w3) é dada por:
|w| = raizw1^2 + w2^2 + w3^2
Aplicando isso ao nosso vetor:
|w| = raiz(z + y)^2 + (2z)^2 + (-2y)^2 = raiz(z + y)^2 + 4z^2 + 4y^2
Sabemos que essa magnitude deve ser igual a 4raiz3:
raiz(z + y)^2 + 4z^2 + 4y^2 = 4raiz3
Elevando ambos os lados ao quadrado para simplificar:
(z + y)^2 + 4z^2 + 4y^2 = (4raiz3)^2 = 16 times 3 = 48
Expandindo (z + y)^2:
z^2 + 2zy + y^2 + 4z^2 + 4y^2 = 48
Somando os termos semelhantes:
5z^2 + 2zy + 5y^2 = 48

Passo 4

Agora, usamos a segunda condição: o vetor w faz ângulos iguais com os eixos OX e OY. Isso significa que as projeções de w nesses eixos têm a mesma tangente.
Sabemos que:
  • A projeção de w no eixo OX é w1 = z + y
  • A projeção no eixo OY é w2 = 2z
Como os ângulos com OX e OY são iguais, os módulos dessas projeções devem ser iguais:
|z + y| = |2z|
Assumindo que z + y e 2z são positivos (para simplificar), temos:
z + y = 2z implies y = z

Passo 5

Com a relação y = z, podemos substituir z por y na equação que obtivemos no Passo 3:
5z^2 + 2zy + 5y^2 = 48
Substituindo y = z:
5z^2 + 2z^2 + 5z^2 = 48 implies 12z^2 = 48
Dividindo ambos os lados por 12:
z^2 = 4 implies z = 2 (considerando apenas o valor positivo)
E, já que y = z, então:
y = 2

Resposta

y = z = 2

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