Sendo
e
, calcule y e
de modo que
e
faça ângulos iguais com OX e OY.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos dá dois vetores:
e
. Precisamos encontrar os valores de
e
de duas maneiras:
- A magnitude do produto vetorial
deve ser igual a . - O vetor resultante
deve formar ângulos iguais com os eixos OX e OY.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de produto vetorial e propriedades de vetores no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o produto vetorial
. A fórmula do produto vetorial entre dois vetores
e
é:
Aplicando isso aos vetores
e
:
Simplificando:
Passo 3
Agora, vamos calcular a magnitude de
, que deve ser igual a
. A magnitude de um vetor
é dada por:
Aplicando isso ao nosso vetor:
Sabemos que essa magnitude deve ser igual a
:
Elevando ambos os lados ao quadrado para simplificar:
Expandindo
:
Somando os termos semelhantes:
Passo 4
Agora, usamos a segunda condição: o vetor
faz ângulos iguais com os eixos OX e OY. Isso significa que as projeções de
nesses eixos têm a mesma tangente.
Sabemos que:
- A projeção de
no eixo OX é - A projeção no eixo OY é
Como os ângulos com OX e OY são iguais, os módulos dessas projeções devem ser iguais:
Assumindo que
e
são positivos (para simplificar), temos:
Passo 5
Com a relação
, podemos substituir
por
na equação que obtivemos no Passo 3:
Substituindo
:
Dividindo ambos os lados por 12:
E, já que
, então: