Sendo e , calcule y e de modo que e faça ângulos iguais com OX e OY.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos dá dois vetores: e . Precisamos encontrar os valores de e de duas maneiras:
A magnitude do produto vetorial deve ser igual a .
O vetor resultante deve formar ângulos iguais com os eixos OX e OY.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de produto vetorial e propriedades de vetores no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o produto vetorial . A fórmula do produto vetorial entre dois vetores e é:
Aplicando isso aos vetores e :
Simplificando:
Passo 3
Agora, vamos calcular a magnitude de , que deve ser igual a . A magnitude de um vetor é dada por:
Aplicando isso ao nosso vetor:
Sabemos que essa magnitude deve ser igual a :
Elevando ambos os lados ao quadrado para simplificar:
Expandindo :
Somando os termos semelhantes:
Passo 4
Agora, usamos a segunda condição: o vetor faz ângulos iguais com os eixos OX e OY. Isso significa que as projeções de nesses eixos têm a mesma tangente.
Sabemos que:
A projeção de no eixo OX é
A projeção no eixo OY é
Como os ângulos com OX e OY são iguais, os módulos dessas projeções devem ser iguais:
Assumindo que e são positivos (para simplificar), temos:
Passo 5
Com a relação , podemos substituir por na equação que obtivemos no Passo 3: