Determine o trabalho necessário para agrupar quatro cargas elétricas pontuais idênticas com carga q, nos cantos de um quadrado de aresta 3a. Qual a energia potencial desse sistema em relação a um ponto no infinito?

Passo 1

Vamos resolver um exercício de eletricidade estática. Precisamos calcular o trabalho necessário para posicionar quatro cargas elétricas iguais, cada uma com carga , nos cantos de um quadrado com lado de comprimento . Além disso, vamos determinar a energia potencial desse sistema em relação a um ponto no infinito. Para isso, vamos usar os conceitos de energia potencial elétrica e interação entre cargas elétricas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é trabalho na eletricidade. O trabalho necessário para trazer uma carga de um ponto a outro no campo elétrico é igual à mudança na energia potencial elétrica do sistema. Quando trazemos cargas de um ponto no infinito para uma configuração específica, estamos armazenando energia no sistema.

Passo 3

Como temos quatro cargas em forma de quadrado, precisamos calcular a energia potencial devido às interações entre cada par de cargas. A fórmula para a energia potencial elétrica entre duas cargas U = k cdot q1 cdot q2r e separadas por uma distância é:
onde é a constante eletrostática ²².

Passo 4

No quadrado, cada carga interage com três outras cargas: duas próximas pelas arestas e uma diagonalmente. Vamos calcular a distância entre as cargas próximas e as diagonais.
  • Distância entre cargas adjacentes (lado do quadrado): .
  • Distância entre cargas diagonais: .

Passo 5

Agora, calculamos a energia potencial para cada par de cargas:
  • Existem 4 pares de cargas adjacentes.
  • Existem 2 pares de cargas diagonais.
Então, a energia potencial total Utotal = k q^23a times 4 + k q^23a raiz2 times 2 será:

Passo 6

Simplificando a expressão:
Utotal = 4k q^23a + 2k q^23a raiz2
Podemos fatorar Utotal = k q^23a (4 + 2raiz2) :
Utotal = k q^23a (4 + raiz2)
Simplificando :

Resposta

O trabalho necessário para agrupar as quatro cargas é igual à energia potencial do sistema, que é:
Utotal = k q^23a (4 + raiz2)

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