Determine o trabalho necessário para agrupar quatro cargas elétricas pontuais idênticas com carga q, nos cantos de um quadrado de aresta 3a. Qual a energia potencial desse sistema em relação a um ponto no infinito?
Passo 1
Vamos resolver um exercício de eletricidade estática. Precisamos calcular o trabalho necessário para posicionar quatro cargas elétricas iguais, cada uma com carga
, nos cantos de um quadrado com lado de comprimento
. Além disso, vamos determinar a energia potencial desse sistema em relação a um ponto no infinito. Para isso, vamos usar os conceitos de energia potencial elétrica e interação entre cargas elétricas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é trabalho na eletricidade. O trabalho necessário para trazer uma carga de um ponto a outro no campo elétrico é igual à mudança na energia potencial elétrica do sistema. Quando trazemos cargas de um ponto no infinito para uma configuração específica, estamos armazenando energia no sistema.
Passo 3
Como temos quatro cargas em forma de quadrado, precisamos calcular a energia potencial devido às interações entre cada par de cargas. A fórmula para a energia potencial elétrica entre duas cargas
e
separadas por uma distância
é:
onde
é a constante eletrostática
.
Passo 4
No quadrado, cada carga interage com três outras cargas: duas próximas pelas arestas e uma diagonalmente. Vamos calcular a distância entre as cargas próximas e as diagonais.
- Distância entre cargas adjacentes (lado do quadrado):
. - Distância entre cargas diagonais:
.
Passo 5
Agora, calculamos a energia potencial para cada par de cargas:
- Existem 4 pares de cargas adjacentes.
- Existem 2 pares de cargas diagonais.
Então, a energia potencial total
será:
Passo 6
Simplificando a expressão:
Podemos fatorar
:
Simplificando
:
Resposta
O trabalho necessário para agrupar as quatro cargas é igual à energia potencial do sistema, que é:
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