Determine o trabalho realizado pelo campo de forcas PARA MOUER UM OBJETO AO LONGO DA CIRCUNFERÊNCIA NO SENTIDO ANTE-HORÁRIO.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o trabalho realizado por um campo de forças específico ao mover um objeto ao longo de uma circunferência com equação no sentido anti-horário. A matéria que vamos usar aqui é Cálculo Vetorial, mais especificamente sobre integrais de linha e campos conservativos. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o trabalho feito por um campo de forças ao longo de um caminho fechado.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o campo de forças dado:
E o caminho ao longo do qual o objeto se move é a circunferência .
Passo 3
Para calcular o trabalho realizado pelo campo de forças ao longo de , precisamos calcular a integral de linha:
Onde é o vetor deslocamento infinitesimal ao longo do caminho .
Passo 4
Antes de calcular diretamente a integral, é bom verificar se o campo de forças é conservativo. Um campo é conservativo se existe uma função potencial tal que . Se o campo for conservativo, o trabalho ao longo de um caminho fechado é zero.
Passo 5
Para verificar se é conservativo, vamos calcular as derivadas parciais:
Como (a menos que , o que não é o caso geral), o campo não é conservativo.
Passo 6
Como o campo não é conservativo, precisamos calcular a integral diretamente. Vamos parametrizar a circunferência . Podemos usar coordenadas polares:
Então, é:
Passo 7
Agora, substituímos e na expressão do campo :
Simplificando:
Passo 8
Agora, calculamos o produto escalar :
Distribuindo:
Note que os termos com se cancelam.
Passo 9
Ficamos com:
Fatorando 6:
Passo 10
Agora, integramos de a :
Vamos dividir a integral em duas partes:
Passo 11
Observamos que:
Aplicando os limites de a :
Simplificando:
Resposta
O trabalho realizado pelo campo de forças ao longo da circunferência no sentido anti-horário é zero.