Determine o trabalho realizado pelo campo de forcas PARA MOUER UM OBJETO AO LONGO DA CIRCUNFERÊNCIA NO SENTIDO ANTE-HORÁRIO.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o trabalho realizado por um campo de forças específico ao mover um objeto ao longo de uma circunferência com equação no sentido anti-horário. A matéria que vamos usar aqui é Cálculo Vetorial, mais especificamente sobre integrais de linha e campos conservativos. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o trabalho feito por um campo de forças ao longo de um caminho fechado.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o campo de forças dado:
E o caminho ao longo do qual o objeto se move é a circunferência .

Passo 3

Para calcular o trabalho realizado pelo campo de forças ao longo de , precisamos calcular a integral de linha:
Onde é o vetor deslocamento infinitesimal ao longo do caminho .

Passo 4

Antes de calcular diretamente a integral, é bom verificar se o campo de forças é conservativo. Um campo é conservativo se existe uma função potencial tal que . Se o campo for conservativo, o trabalho ao longo de um caminho fechado é zero.

Passo 5

Para verificar se é conservativo, vamos calcular as derivadas parciais:
Como (a menos que , o que não é o caso geral), o campo não é conservativo.

Passo 6

Como o campo não é conservativo, precisamos calcular a integral diretamente. Vamos parametrizar a circunferência . Podemos usar coordenadas polares:
Então, é:

Passo 7

Agora, substituímos e na expressão do campo :
Simplificando:

Passo 8

Agora, calculamos o produto escalar :
Distribuindo:
Note que os termos com se cancelam.

Passo 9

Ficamos com:
Fatorando 6:

Passo 10

Agora, integramos de a :
Vamos dividir a integral em duas partes:

Passo 11

Observamos que:
Aplicando os limites de a :
Simplificando:

Resposta

O trabalho realizado pelo campo de forças ao longo da circunferência no sentido anti-horário é zero.

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