Encontre um plano que passa por e é perpendicular à reta dada pela interseção dos planos e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar um plano que passa pelo ponto e que é perpendicular a uma reta. Essa reta é a interseção de dois planos dados pelas equações e . Para isso, vamos precisar entender como encontrar a direção dessa reta e depois usar essa informação para achar o plano que queremos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor diretor da reta que é a interseção dos dois planos. Para isso, precisamos dos vetores normais dos planos. O vetor normal de um plano é dado pelos coeficientes de , e na equação do plano.

Passo 3

Olha só:
  • Para o primeiro plano , o vetor normal é .
  • Para o segundo plano , o vetor normal é .

Passo 4

Agora, para encontrar o vetor diretor da reta de interseção, vamos calcular o produto vetorial . O produto vetorial entre dois vetores nos dá um vetor que é perpendicular a ambos, ou seja, na direção da reta que é a interseção dos planos.

Passo 5

Vamos calcular esse determinante:
Então, o vetor diretor é .

Passo 6

Como o plano que queremos é perpendicular a essa reta, o vetor normal do plano será paralelo ao vetor diretor da reta. Ou seja, o vetor normal do plano é .

Passo 7

Agora, vamos usar o ponto e o vetor normal para escrever a equação do plano. A equação geral de um plano é:
Substituindo os valores:

Resposta

Simplificando a equação, temos:
Então, a equação do plano desejado é:

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