Encontre um plano que passa por e é perpendicular à reta dada pela interseção dos planos e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar um plano que passa pelo ponto e que é perpendicular a uma reta. Essa reta é a interseção de dois planos dados pelas equações e . Para isso, vamos precisar entender como encontrar a direção dessa reta e depois usar essa informação para achar o plano que queremos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o vetor diretor da reta que é a interseção dos dois planos. Para isso, precisamos dos vetores normais dos planos. O vetor normal de um plano é dado pelos coeficientes de , e na equação do plano.
Passo 3
Olha só:
Para o primeiro plano , o vetor normal é .
Para o segundo plano , o vetor normal é .
Passo 4
Agora, para encontrar o vetor diretor da reta de interseção, vamos calcular o produto vetorial . O produto vetorial entre dois vetores nos dá um vetor que é perpendicular a ambos, ou seja, na direção da reta que é a interseção dos planos.
Passo 5
Vamos calcular esse determinante:
Então, o vetor diretor é .
Passo 6
Como o plano que queremos é perpendicular a essa reta, o vetor normal do plano será paralelo ao vetor diretor da reta. Ou seja, o vetor normal do plano é .
Passo 7
Agora, vamos usar o ponto e o vetor normal para escrever a equação do plano. A equação geral de um plano é: