Julgue a veracidade das afirmações abaixo assinalando (V) para verdadeiro ou (F) para falso. Justifique sua resposta.
(a) ( ) Existe um plano que contém os pontos A = (1, 0, -1), B = (0, 2, 3), C = (-2, 1, 1) e D=(4,2,3).
(b) ( ) O ponto A = (7, 6, 5) pertence ao segmento de reta r: { x = 1 + 3t, y = 2 + 2t, z = 3 + t, t em R }, onde 0 <= t <= 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que tem duas partes. No item (a), precisamos verificar se quatro pontos estão todos em um mesmo plano. Isso envolve conceitos de geometria analítica, como determinar a equação de um plano e verificar se os pontos satisfazem essa equação. No item (b), temos que verificar se um ponto específico está numa reta parametrizada dentro de um certo intervalo de parâmetro . Vamos precisar usar equações paramétricas de retas e substituir para encontrar o valor de .

Passo 2

Começando pelo item (a), para saber se os pontos , , e estão no mesmo plano, podemos encontrar a equação do plano que contém , e e depois verificar se também satisfaz essa equação.

Passo 3

Primeiro, vamos encontrar dois vetores que estão no plano formado por , e . Esses vetores podem ser e :

Passo 4

Agora, para encontrar uma normal ao plano, calculamos o produto vetorial desses dois vetores:

Passo 5

Com a normal e o ponto , a equação do plano é:
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos verificar se o ponto satisfaz a equação do plano :
Como a igualdade se mantém, o ponto também está no plano.

Passo 7

Pasando para o item (b), queremos saber se o ponto está na reta dada pelas equações paramétricas:
E o parâmetro está entre 0 e 1.

Passo 8

Vamos tentar encontrar um valor de que satisfaça todas as três equações simultaneamente:
Encontramos que satisfaz todas as equações, mas o intervalo permitido é .

Resposta

(a) (V) Verdadeiro. Todos os pontos , , e estão no mesmo plano.
(b) (F) Falso. O ponto não pertence ao segmento de reta dado, pois o valor de está fora do intervalo .

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