Julgue a veracidade das afirmações abaixo assinalando (V) para verdadeiro ou (F) para falso. Justifique sua resposta.
(a) ( ) Existe um plano que contém os pontos e .
(b) ( ) O ponto pertence ao segmento de reta , onde .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que tem duas partes. No item (a), precisamos verificar se quatro pontos estão todos em um mesmo plano. Isso envolve conceitos de geometria analítica, como determinar a equação de um plano e verificar se os pontos satisfazem essa equação. No item (b), temos que verificar se um ponto específico está numa reta parametrizada dentro de um certo intervalo de parâmetro . Vamos precisar usar equações paramétricas de retas e substituir para encontrar o valor de .
Passo 2
Começando pelo item (a), para saber se os pontos , , e estão no mesmo plano, podemos encontrar a equação do plano que contém , e e depois verificar se também satisfaz essa equação.
Passo 3
Primeiro, vamos encontrar dois vetores que estão no plano formado por , e . Esses vetores podem ser e :
Passo 4
Agora, para encontrar uma normal ao plano, calculamos o produto vetorial desses dois vetores:
Passo 5
Com a normal e o ponto , a equação do plano é:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos verificar se o ponto satisfaz a equação do plano :
Como a igualdade se mantém, o ponto também está no plano.
Passo 7
Pasando para o item (b), queremos saber se o ponto está na reta dada pelas equações paramétricas:
E o parâmetro está entre 0 e 1.
Passo 8
Vamos tentar encontrar um valor de que satisfaça todas as três equações simultaneamente:
Encontramos que satisfaz todas as equações, mas o intervalo permitido é .
Resposta
(a) (V) Verdadeiro. Todos os pontos , , e estão no mesmo plano.
(b) (F) Falso. O ponto não pertence ao segmento de reta dado, pois o valor de está fora do intervalo .