Determine a solução geral de: y'' + 25y = cossec(5x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial: . Aqui estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver isso, vamos precisar encontrar a solução da equação homogênea associada e depois encontrar uma solução particular para a equação completa. No final, juntamos essas soluções para obter a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: . Para isso, encontramos as raízes da equação característica:
Como as raízes são complexas, a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação completa . Como o termo à direita não é uma função que podemos facilmente adivinhar uma solução particular usando o método dos coeficientes indeterminados, vamos usar o método de variação dos parâmetros.

Passo 4

Pelo método de variação dos parâmetros, assumimos que a solução particular tem a forma:
Onde e são funções que vamos determinar. Para encontrá-las, primeiro calculamos as derivadas de :
Para simplificar, impomos:
Resolvendo esse sistema, encontramos e :
Integrando, obtemos:
Desconsideramos as constantes de integração pois elas serão absorvidas na solução geral.

Passo 5

Substituindo e na expressão de :
Simplificando:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde e são constantes arbitrárias.

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