Determine a solução geral de:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
. Aqui estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver isso, vamos precisar encontrar a solução da equação homogênea associada e depois encontrar uma solução particular para a equação completa. No final, juntamos essas soluções para obter a solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
. Para isso, encontramos as raízes da equação característica:
Como as raízes são complexas, a solução geral da equação homogênea é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar uma solução particular
para a equação completa
. Como o termo à direita
não é uma função que podemos facilmente adivinhar uma solução particular usando o método dos coeficientes indeterminados, vamos usar o método de variação dos parâmetros.
Passo 4
Pelo método de variação dos parâmetros, assumimos que a solução particular tem a forma:
Onde
e
são funções que vamos determinar. Para encontrá-las, primeiro calculamos as derivadas de
:
Para simplificar, impomos:
Resolvendo esse sistema, encontramos
e
:
Integrando, obtemos:
Desconsideramos as constantes de integração pois elas serão absorvidas na solução geral.
Passo 5
Substituindo
e
na expressão de
:
Simplificando:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
e
são constantes arbitrárias.