Seja T: R^3 R^3 a transformação linear definida por
T(x, y, z)=(x+z, x-y, y)
Mostre que T é um isomorfismo, e determine:
(a) T^-1(x, y, z).

Passo 1

Então, a gente tem uma transformação linear T(x, y, z) = (x + z, , x - y, , y) definida por
O objetivo aqui é mostrar que é um isomorfismo, ou seja, uma transformação que é tanto injetora quanto sobrejetora. Além disso, precisamos encontrar a transformação inversa . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como sistemas lineares e matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos confirmar que T(x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) = ((x1 + x2) + (z1 + z2), , (x1 + x2) - (y1 + y2), , y1 + y2) é uma transformação linear. Isso significa que ela respeita as operações de adição e multiplicação por escalar. Observando a definição de (x1 + z1) + (x2 + z2), , (x1 - y1) + (x2 - y2), , y1 + y2 :
T(x1, y1, z1) + T(x2, y2, z2)
Isso pode ser separado em:
T(kx, ky, kz) = (kx + kz, , kx - ky, , ky) = k(x + z, , x - y, , y) = kT(x, y, z)
Que é igual a:
Além disso, para qualquer escalar :
Portanto, é realmente uma transformação linear.

Passo 3

Agora, para mostrar que A = 1 & 0 & 1 1 & -1 & 0 0 & 1 & 0 é um isomorfismo, precisamos provar que ela é injetora e sobrejetora. Uma maneira eficiente de fazer isso é mostrar que a matriz associada a det(A) = 1 cdot (-1 cdot 0 - 0 cdot 1) - 0 cdot (1 cdot 0 - 0 cdot 1) + 1 cdot (1 cdot 1 - (-1) cdot 0) = 1 cdot 0 - 0 + 1 cdot 1 = 1 é invertível, ou seja, que seu determinante é diferente de zero.
Primeiro, vamos escrever a matriz de . Sabemos que para uma transformação linear , a matriz é:
Agora, calculamos o determinante de :
Como o determinante de é 1, que é diferente de zero, a matriz é invertível. Portanto, é um isomorfismo.

Passo 4

Agora que sabemos que x + z = a x - y = b y = c é invertível, vamos encontrar a transformação inversa T^-1(a, b, c) = (b + c, , c, , a - b - c) . Para isso, precisamos resolver o sistema de equações dado por:
Onde são os componentes da imagem .
Vamos resolver passo a passo:
  1. Da terceira equação, já temos .
  2. Substituindo na segunda equação: , então .
  3. Substituindo na primeira equação: , então .
Portanto, a transformação inversa é:

Resposta

A transformação inversa é dada por
T^-1(x, y, z) = (y + z, , z, , x - y - z)

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