Então, a gente tem uma transformação linear definida por
O objetivo aqui é mostrar que é um isomorfismo, ou seja, uma transformação que é tanto injetora quanto sobrejetora. Além disso, precisamos encontrar a transformação inversa . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como sistemas lineares e matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos confirmar que é uma transformação linear. Isso significa que ela respeita as operações de adição e multiplicação por escalar. Observando a definição de :
Isso pode ser separado em:
Que é igual a:
Além disso, para qualquer escalar :
Portanto, é realmente uma transformação linear.
Passo 3
Agora, para mostrar que é um isomorfismo, precisamos provar que ela é injetora e sobrejetora. Uma maneira eficiente de fazer isso é mostrar que a matriz associada a é invertível, ou seja, que seu determinante é diferente de zero.
Primeiro, vamos escrever a matriz de . Sabemos que para uma transformação linear , a matriz é:
Agora, calculamos o determinante de :
Como o determinante de é 1, que é diferente de zero, a matriz é invertível. Portanto, é um isomorfismo.
Passo 4
Agora que sabemos que x + z = a x - y = b y = c é invertível, vamos encontrar a transformação inversa T^-1(a, b, c) = (b + c, , c, , a - b - c) . Para isso, precisamos resolver o sistema de equações dado por: