Determine a transformaçâo linear T que representa uma: reflexão em R^2 em torno da reta x+y=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar a transformação linear que representa uma reflexão no plano R^2 em torno da reta x + y = 0. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria linear e transformações lineares, especialmente aquelas que envolvem reflexões em linhas específicas.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que significa refletir um ponto em torno de uma reta. Refletir um ponto em uma reta significa criar uma “imagem espelhada” desse ponto em relação à reta. Para encontrar a transformação linear que faz isso, vamos seguir alguns passos matemáticos.

Passo 3

Vamos considerar uma reta no plano, como a x + y = 0. Essa reta passa pela origem e tem um vetor diretor. Para facilitar os cálculos, precisamos encontrar um vetor unitário na direção dessa reta. A equação x + y = 0 pode ser reescrita como y = -x, o que nos dá a direção do vetor u = 1 -1 .

Passo 4

Agora, precisamos normalizar esse vetor para que ele tenha comprimento 1 (ou seja, transformar u em um vetor unitário u). O comprimento de u é:
|u| = raiz1^2 + (-1)^2 = raiz2
Então, o vetor unitário é:
u = 1raiz2 1 -1

Passo 5

A fórmula para a matriz de reflexão T em torno de uma reta dada por um vetor unitário u é:
T = 2uu^top - I
Onde I é a matriz identidade 2 times 2 e u^top é o vetor transposto.

Passo 6

Vamos calcular 2uu^top:
2uu^top = 2 ( 1raiz2 1 -1 ) ( 1raiz2 1 & -1 ) = 2 cdot 12 1 & -1 -1 & 1 = 1 & -1 -1 & 1

Passo 7

Agora, subtraímos a matriz identidade I:
T = 1 & -1 -1 & 1 - 1 & 0 0 & 1 = 0 & -1 -1 & 0

Resposta

A transformação linear que representa a reflexão em torno da reta x + y = 0 é dada pela matriz:
T = 0 & -1 -1 & 0

Exercícios relacionados