Determine a transformaçâo linear T que representa uma: reflexão em
em torno da reta
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar a transformação linear que representa uma reflexão no plano
em torno da reta
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria linear e transformações lineares, especialmente aquelas que envolvem reflexões em linhas específicas.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que significa refletir um ponto em torno de uma reta. Refletir um ponto em uma reta significa criar uma “imagem espelhada” desse ponto em relação à reta. Para encontrar a transformação linear que faz isso, vamos seguir alguns passos matemáticos.
Passo 3
Vamos considerar uma reta no plano, como a
. Essa reta passa pela origem e tem um vetor diretor. Para facilitar os cálculos, precisamos encontrar um vetor unitário na direção dessa reta. A equação
pode ser reescrita como
, o que nos dá a direção do vetor
.
Passo 4
Agora, precisamos normalizar esse vetor para que ele tenha comprimento 1 (ou seja, transformar
em um vetor unitário
). O comprimento de
é:
Então, o vetor unitário é:
Passo 5
A fórmula para a matriz de reflexão
em torno de uma reta dada por um vetor unitário
é:
Onde
é a matriz identidade
e
é o vetor transposto.
Passo 6
Vamos calcular
:
Passo 7
Agora, subtraímos a matriz identidade
:
Resposta
A transformação linear que representa a reflexão em torno da reta
é dada pela matriz: