Determine a transformaçâo linear T que representa uma: projeçâo ortogonal de vetores do no eixo ;
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que você precisa fazer. Temos que encontrar uma transformação linear que projeta vetores do espaço tridimensional de forma ortogonal no eixo . Isso envolve entender o que é uma projeção ortogonal e como representá-la matematicamente usando matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre projeção ortogonal. Imagine que você tem um vetor no espaço 3D e quer “projetá-lo” diretamente sobre o eixo . Isso significa que você está “baixando” o vetor perpendicularmente até o eixo , descartando as componentes nos eixos e .
Passo 3
Para representar essa projeção de forma matemática, usamos uma matriz de transformação linear. Em , uma transformação linear pode ser representada por uma matriz . Cada coluna dessa matriz corresponde à imagem dos vetores da base canônica sob a transformação .
Passo 4
Como estamos projetando no eixo , queremos que qualquer vetor seja mapeado para . Isso significa que as componentes e serão anuladas, e apenas a componente será mantida.
Passo 5
Agora, vamos construir a matriz de projeção. Sabemos que:
Isso pode ser representado por uma matriz onde a primeira e a terceira linhas são todas zeros, e a segunda linha tem um 1 na posição do :
Resposta
A transformação linear que representa a projeção ortogonal de vetores de no eixo é dada pela matriz: