Determine a transformaçâo linear T que representa uma: projeçâo ortogonal de vetores do no eixo ;

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que você precisa fazer. Temos que encontrar uma transformação linear que projeta vetores do espaço tridimensional de forma ortogonal no eixo . Isso envolve entender o que é uma projeção ortogonal e como representá-la matematicamente usando matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre projeção ortogonal. Imagine que você tem um vetor no espaço 3D e quer “projetá-lo” diretamente sobre o eixo . Isso significa que você está “baixando” o vetor perpendicularmente até o eixo , descartando as componentes nos eixos e .

Passo 3

Para representar essa projeção de forma matemática, usamos uma matriz de transformação linear. Em , uma transformação linear pode ser representada por uma matriz . Cada coluna dessa matriz corresponde à imagem dos vetores da base canônica sob a transformação .

Passo 4

Como estamos projetando no eixo , queremos que qualquer vetor seja mapeado para . Isso significa que as componentes e serão anuladas, e apenas a componente será mantida.

Passo 5

Agora, vamos construir a matriz de projeção. Sabemos que:
Isso pode ser representado por uma matriz onde a primeira e a terceira linhas são todas zeros, e a segunda linha tem um 1 na posição do :

Resposta

A transformação linear que representa a projeção ortogonal de vetores de no eixo é dada pela matriz:

Exercícios relacionados

Nos ítens seguintes determine quais as matrizes que são inversíveis. Em caso afirmativo determine a inversa.
(k)
Determine a transformaçâo linear T que representa uma: projeçâo ortogonal de vetores do no eixo ;
Nos exercícios seguintes determine os valores dos parâmetros envolvidos de forma que as matrizes sejam inversíveis.
(a)
Determine a transformaçâo linear T que representa uma: reflexão em em torno da reta .