Determine a Transformada de Fourier da seguinte função.
f(x) = x^3 e^(-a x) U(x) = { x^3 e^(-a x), se x ≥ 0; 0, se x < 0 }
onde a > 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a Transformada de Fourier da função dada:
Aqui, . Para isso, vamos usar os conceitos de Transformada de Fourier e algumas propriedades de funções exponenciais e polinomiais.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a Transformada de Fourier. Ela transforma uma função do domínio do tempo (ou espaço) para o domínio das frequências. A fórmula geral é:
No nosso caso, como f(x) é zero para , a integral fica de 0 a infinito:

Passo 3

Agora, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Podemos combinar os expoentes:
Então, a Transformada de Fourier fica:

Passo 4

Para resolver essa integral, precisamos lembrar que a integral de de 0 a infinito é conhecida e dada por:
Aqui, e . Então, aplicando essa fórmula:

Passo 5

Calculando o fatorial e simplificando:
Portanto:

Resposta

A Transformada de Fourier da função dada é:

Exercícios relacionados

Utilize a Transformada de Fourier para resolver ces problemas abaixo.
l partial^2 upartial x^2=partial upartial t u(x, 0)=x e^-x^2, x in R
A seguir estão os passos para se calcular uma integral por substituição trigonométrica. Eles estão fora de ordem. Associe um número a cada um deles, coloque-os em ordem crescente, de maneira que o cálculo faça sentido, não esquecendo de escrever o sinal de igualdade entre cada um deles, quando for o caso.
d x=2 cos (theta) d theta integral 2 cos (theta)4 sen^2(theta) raiz4(1-sen^2(theta)) d theta cos ^2(theta)=1-x^24
cos (theta)=raiz4-x^22 integral 2 cos (theta)4 sen^2(theta) raiz4-4 sen^2(theta) d theta
integral 2 cos (theta)8 sen^2(theta) cos (theta) d theta -14 raiz4-x^2x+k -14 cotg(theta)+k
-14 cos (theta)sen(theta)+k x=2 sen(theta) -14 raiz4-x^2x+k
14 integral 1sen^2(theta) d theta 14 integral cosec^2(theta) d theta sen(theta)=x2

Boa Prova!

Utilize a Transformada de Fourier para resolver os problemas abaixo.
l partial^2 upartial x^2+partial upartial x=partial upartial t u(x, 0)=e^-x^24, x in R
Calcule os seguintes limites. Justifique suas respostas.
lim t 1(t^2-1t-1, raizt-1t-1, t^3-1t-1)